En mathématiques, l’unité imaginaire est un nombre complexe, noté (parfois en physique afin de ne pas le confondre avec la notation de l'intensité électrique), dont le carré vaut –1. Ses multiples par des nombres réels constituent les nombres imaginaires purs.

L'appellation d'« imaginaire » est due à René Descartes. et celle d'« unité imaginaire » à Carl Friedrich Gauss. Sans avoir disparu, cette appellation n'est pas d'un usage très généralisé chez les mathématiciens, qui se contentent souvent de parler du nombre .

Constructions

Puisque tous les nombres réels ont un carré positif, l'unité imaginaire ne peut être considérée comme un point de la droite réelle. Il existe plusieurs façons de la définir.

Sa première apparition était sous la forme de , écriture qui n'a pas de sens dans les nombres réels et qui signifie seulement que l'on « imagine » un nombre dont le carré vaudrait –1.

Plusieurs approches sont possibles pour proposer une construction formelle de .

On peut considérer les complexes comme la structure quotient de l'anneau commutatif ℝ[X] des polynômes réels par l'idéal engendré par le polynôme : il s'agit en fait de ne conserver dans un polynôme que son reste dans la division euclidienne par . Ainsi, par exemple, sera identique à car ; on remarque alors que dans cet ensemble, car . On pose alors ; tous les autres restes qui s'écrivent s'écrivent alors

On peut également considérer l'ensemble des complexes comme l'ensemble des couples de réels, muni de l'addition terme à terme et d'une multiplication plus sophistiquée : . Avec cette multiplication, le couple vérifie On assimile tous les couples aux réels x ; on a alors et le couple est choisi comme représentation de l'unité imaginaire.

Enfin, dans un plan muni d'un repère orthonormé (O, U, V), on peut associer l'ensemble des complexes à l'ensemble des vecteurs du plan muni de l'addition usuelle et d'une multiplication plus sophistiquée :

où C est le point tel que les triangles OUA et OBC soient directement semblables. À tout vecteur de l'axe (OU) , on associe son abscisse x. L'axe (OU) est alors appelé l'axe des réels. On remarque alors que . On note alors ce vecteur. À tout vecteur de l'axe (OV) d'abscisse y, on associe l'imaginaire pur y. Ainsi, à chaque vecteur d'origine O et d'extrémité A, puis à chaque point A de coordonnées on associe le complexe On parle alors du plan complexe ℂ.

Le nombre imaginaire est un outil mathématique utile pour apporter des « solutions supplémentaires » à certaines équations, en ajoutant une dimension aux nombres réels (remplacement d'une droite par un plan) ; les nombres comportant un multiple de cette unité imaginaire sont appelés « nombres complexes ».

Propriétés

Son opposé est à la fois son inverse et son conjugué : . Son module est égal à 1. Il vérifie aussi l'égalité . Il n'y a aucune manière de distinguer de dans la définition, mais cette indétermination ne pose aucun problème.

Ses images par les fonctions trigonométriques s'écrivent :

.

est une racine de l'unité d'ordre 4, donc ses puissances sont :

Le complexe a pour module et pour arguments .

Les images de par la fonction multivaluée logarithme complexe sont donc . Sa détermination principale est .

On peut aussi définir une détermination principale pour l'expression , puissance complexe de : ..

Notations

Lorsque Girolamo Cardano présente en 1545 le premier nombre utilisant la racine carrée d'un nombre négatif., il s'agit de , qui ne privilégie pas l'unité imaginaire. Un quart de siècle plus tard, Rafaele Bombelli met en place les règles de calcul sur les « quantités sophistiquées ». Il isole alors le caractère imaginaire de l'expression à l'aide de deux « signes » : si la quantité est ajoutée et si celle-ci est retranchée. Ainsi, l'expression sera notée « 5 più di meno R.q. 15 ». Nicolas Bourbaki. y voit la première apparition des nombres complexes sous forme d'une combinaison linéaire à coefficients positifs des quatre éléments de base : +1, –1, +i () et –i () mais Dominique Flament pense qu'il s'agit là d'une interprétation qui ne serait pas dans l'esprit de Bombelli : pour lui, ne correspondrait pas au nombre +i mais davantage à un signe opératoire..

Jusqu'à Leonhard Euler, les quantités « imaginaires »C'est le nom que portent les nombres complexes . s'écrivent indifféremment, par. 497. sous forme ou . Mais, petit à petit, la seconde expression est privilégiée, donnant ainsi une importance particulière à .

Cependant, cette présentation sous forme de racine carrée laisse la porte ouverte à la tentation d'appliquer à celle-ci les règles connues sur les nombres positifsC'est ce que Study appelle le principe de permanence (Study p. 334). en particulier celle sur le produitVoir, par exemple, la règle 148 des Éléments d'algèbre de Leonhard Euler, qualifiée d'erreur par Flament , d'erreur de typographie par Cajori alors qu'Hamon (Gérard Hamon, « Une approche structurelle », dans Images, Imaginaires, Imaginations, 1998, p. 254) n'y voit que l'utilisation d'une fonction multivaluée. : × = , ce qui donnerait, appliqué sans discernement à , l'égalité paradoxale .

Plusieurs tentatives sont faites pour remplacer cette quantité par une lettre. Euler, en 1777, l'appelle i ; Caspar Wessel, en 1797, la note ε ; Jean-Robert Argand choisit de lui associer le signe opératoire ~ pour +i ; Jacques Frédéric Français choisit la notation 1π/2, indiquant par là qu'il s'agit de l'unité réelle ayant tourné d'un angle droit. Mais petit à petit, la notation d'Euler s'impose ; elle est utilisée par Carl Friedrich Gauss en 1801 ; elle est reprise en 1847 par Augustin Louis Cauchy, qui associe i à la variable X des polynômes.. Chez les physiciens cependant, l'existence de la notation i pour l'intensité du courant oriente les choix vers la notation j pour .

Quant à son nom, on la voit qualifiée d'« unité imaginaire » puis d'« unité latérale » par Gauss., d'« unité secondaire » par William Rowan Hamilton. qui l'associe au couple (0, 1), de « symbole inexpliqué » par de Morgan.. Le terme d'« unité imaginaire », entre guillemets, est repris par Bourbaki..

En 1833, Hamilton cherche à donner une légitimité à l'écriture en définissant ce que serait la mesure principale du logarithme d'un complexe, puis de sa racine n-ième et démontre que (0, 1) correspond alors bien à la mesure principale de ..

On peut aussi représenter par la matrice , égale à avec et , avec conservation des propriétés de multiplication, addition ( et ). Voir « Histoire des nombres complexes comme matrice de similitude ».

Formule d'Euler La formule d'Euler donne :

où est un nombre réel.

Remplaçons par

et on obtient donc l'identité d'Euler :

. C'est une égalité remarquablement simple mettant en scène cinq nombres mathématiques très importants (0, 1, , et ) reliés uniquement par des additions, multiplications et exponentiations.

Notes et références Notes

Références

Bibliographie

Voir aussi Articles connexes Corps totalement ordonné Histoire des nombres complexes

Lien externe

Catégorie:Nombre complexe Catégorie:Racine carrée Catégorie:Constante mathématique