En mathématiques, en particulier en algèbre, les radicaux imbriqués (ou radicaux emboités, ou encore radicaux itérés lorsqu'il y en a une infinité) sont des expressions contenant des racines d'expressions contenant elles-mêmes des racines.
Par exemple qui apparaît dans l'étude du pentagone régulierLa racine contient sous son radical l'expression qui contient la racine ., ou d'autres plus complexes telles que .
Désimbrication de radicaux Problème général On peut désimbriquer certains radicaux imbriqués. Par exemple : .
Mais la désimbrication de radicaux est généralement considérée comme un problème difficile.
Dans certains cas, des radicaux de puissances plus hautes peuvent être nécessaires pour enlever l'imbrication de certaines classes de radicaux imbriqués..
Un cas simple Un cas particulier abordable est celui où un réel représenté par deux racines carrées imbriquées s'exprime comme une somme ou différence de deux racines carrées. Par exemple :
. Si et sont des rationnels positifs tels que soit irrationnel et inférieur à , pour pouvoir mettre ou sous la forme
il faut et il suffit que le nombre
soit rationnel. La solution est alors :
avec
On en déduit par exemple l'égalité suivante, vaguement étonnante : .
Identités entre sommes de radicaux imbriqués La simple application multiple de l'égalité permet d'écrire des identités entre sommes de radicaux imbriqués difficiles à démontrer par élévation au carré.
Par exemple, s'écrit sous la forme et sous la forme .
L'"incroyable identité" proposée par Daniel Shanks en 1974 : , reprise sans démonstration dans certains livres , se prouve en posant dans l'identité .
Quelques identités de Ramanujan Srinivasa Ramanujan a démontré un certain nombre d'identités impliquant l'imbrication de radicaux. Parmi celles-ci figurent les suivantes. : ,
,
,
..
Voici d'autres simplifications de radicaux inspirées par Ramanujan :
,
.
Algorithme de Landau En 1989, Susan Landau a présenté le premier algorithme pour décider quels radicaux imbriqués peuvent être simplifiés, citeseerx 10.1.1.34.2003.. L'algorithme de Landau utilise des racines de l'unité et s'exécute en un temps exponentiel par rapport à la profondeur du radical imbriqué .
En trigonométrie
Les sinus, cosinus et tangente d'un multiple rationnel de s'expriment en termes de rationnels et de radicaux réels (en fait, des racines carrées) éventuellement imbriqués si et seulement si s'écrit comme une fraction dont le dénominateur a pour indicatrice d'Euler une puissance de 2.
Par exemple : ; .
Imbrication infinie de radicaux
Racine carrée itérée
Avec des sommes Pour tous réel , on démontre.Voir que la suite récurrente définie par et est strictement croissante et converge vers la solution de , c'est-à-dire la racine positive de l'équation du second degré , ce qui constitue une définition du nombre .
Par exempleDans ce cas particulier, on obtient aussi directement cette limite en remarquant que . :
, et plus généralement :
, si ,
(voir nombre d‘or), et plus généralement :
, p-ième nombre métallique, nombre d'argent pour = 2.
Avec des différences Pour tous réels tels que : , défini comme limite d'une suite, est la racine positive de l'équation .
Par exemple : .
Avec sommes et des différences , si , par exemple : et . Radicaux infinis de Ramanujan Ramanujan a posé le problème suivant au Journal of the Indian Mathematical Society : Trouver la valeur de et de et l'a résolu ainsi. : Pour ou , posons . Alors, , avec et choisis de telle façon que ( et ) donc . (la convergence, pour tous réels et , est justifiée par un théorème ultérieur dû à Tirukkannapuram Vijayaraghavan.). En particulier : , d'où ; , d'où .
Le critère de convergence de Vijayaraghavan a été généralisé par Herschfeld, th. III.Voir :
Pour tous réels tels que la série converge et pour tous réels strictement positifs , le radical imbriqué converge si et seulement si la suite est majorée.
Herschfeld donne comme exemple introductif le cas : et calcule
.
Il le nomme « nombre de Kasner », en référence à Edward Kasner ; voir la ..
Ramanujan a résolu dans son cahier perdu le radical infini suivant où le schéma périodique des signes est (+, +, –, +) : (voir la ).
Expression de Viète pour
.
Racine cubique Pour tous réels , par la même méthode que ci-dessus pour les racines carréesVoir , on définit le nombre
comme la limite d'une suite croissante, qui converge vers la racine réelle positive de l'équation cubique .
Par exemple : , nombre plastique. De mêmeVoir , pour tous réels tels que ,
est la racine réelle de .
Racine -ième
pour tout entier Et pour tout , ce que MathWorld, « Nested Radical » ne précise pas. pour tout entier
Notes et références
Notes
Références
Voir aussi Articles connexes Constante de récurrence quadratique de Somos Méthode de Cardan Somme de radicaux
Bibliographie
Liens externes
Catégorie:Racine nième Catégorie:Constante mathématique