thumb|right|Hermann Grassmann thumb|William Clifford Une algèbre géométrique est, en mathématiques, une structure algébrique (algèbre de Clifford réelle) dotée d'une interprétation géométrique et physique mise au point par David Hestenes, reprenant les travaux de Hermann Günther Grassmann, William Rowan Hamilton et William Kingdon Clifford.

Le but avoué de ce physicien théoricien, lauréat pour ses travaux de la médaille Oersted, est de fonder un langage propre à unifier les manipulations symboliques en physique, dont les nombreuses branches pratiquent aujourd'hui, pour des raisons historiques, des formalismes différents (tenseurs, matrices, torseurs, analyse vectorielle, utilisation de nombres complexes, spineurs, quaternions, formes différentielles…). Le nom choisi par David Hestenes () est celui que Clifford voulait donner à son algèbre.

L'algèbre géométrique est utile dans les problèmes de physique qui impliquent des rotations, des phases ou des nombres imaginaires. Elle fournit une description compacte et intuitive de la mécanique quantique et classique, de la théorie électromagnétique, et de la relativité. Les applications actuelles de l'algèbre géométrique incluent la vision par ordinateur, la biomécanique ainsi que la robotique et la dynamique des vols spatiaux. Selon Alan Macdonald, "l'algèbre géométrique n'est rien de moins qu'une nouvelle approche de la géométrie." L'application aux équations de Maxwell en est une illustration souvent reprise (voir paragraphe dédié en fin d'article).

Histoire En 1843, William Rowan Hamilton découvre les quaternions qu'il interprète géométriquement comme des vecteurs (à tort). Un an plus tard, Hermann Günther Grassmann introduit le produit intérieur et le produit extérieur qui permettent la construction d'algèbres opérant sur des objets géométriques. Enfin, en 1873 William Kingdon Clifford parvient à intégrer les résultats d'Hamilton et ceux de Grassmann dans une première formulation de l'algèbre géométrique.

La découverte de Clifford passe inaperçue, sans doute à cause du décès prématuré de son auteur, et les physiciens de la fin du ne connaissant pas cet outil mathématique commencent à employer un autre système connu sous le nom de « calcul vectoriel ». Développé par Willard Gibbs et Oliver Heaviside, le calcul vectoriel a permis notamment de formuler clairement la théorie de l'électromagnétisme de James Clerk Maxwell, et s'est également révélé d'usage facile en mécanique classique. Ces succès en ont fait, jusqu'à ce jour, le système mathématique le plus utilisé en physique.

Au début du , la théorie de la relativité générale amène à reconnaître l'espace-temps de dimension 4. Le calcul vectoriel ne s'étend pas bien en dimension 4, une des raisons étant que le produit vectoriel n'est défini qu'en dimension 3. Les physiciens, n'ayant toujours pas connaissance des algèbres découvertes par Clifford, compensent les insuffisances du calcul vectoriel en introduisant divers systèmes mathématiques complémentaires.

Ce n'est que dans la deuxième moitié du que David Hestenes montra que l'algèbre géométrique est parfaitement adéquate en dimension 4 où elle se décline en algèbre de l'espace-temps () qui formalise élégamment et efficacement la relativité restreinte. Hestenes montre également qu'avec l'algèbre géométrique, l'électromagnétisme gagne en simplicité, et que la mécanique classique en dimension 3 bénéficie d'une meilleure gestion des rotations. Un autre résultat majeur obtenu par Hestenes est que la mécanique quantique peut être reformulée par l'algèbre géométrique sans nombres imaginaires et sans matrices, avec une interprétation géométrique.

Définitions

Algèbre géométrique

Il existe plusieurs définitions d'une algèbre géométrique, mais l'une des plus concises peut-être formulée ainsi:

Avec cette définition, l'algèbre géométrique, le corps et le sous-espace vectoriel sont notés respectivement , Comme dans toute algèbre unitaire, est identifié à où est l'élément neutre pour la multiplication bilinéaire. et . La dernière condition exprimée dans la définition s'écrit alors :

Hestenes a exprimé sa forte réticence à considérer le cas d'une algèbre sur le corps des complexes : . En fait, dans , le corps des scalaires est bel et bien choisi égal au corps des réels. La définition la plus générale a ici été présentée mais dans le reste de cet article, sauf mention contraire, on supposera . Dans ce même ouvrage, Hestenes impose aussi à une dimension finie . Dans ce cas, et peuvent être notés respectivement et (ou ).

Dans cet article, est de dimension quelconque, mais dans le cas où cette dimension est infinie, elle sera tout de même supposée dénombrable pour faciliter les notations.

L'opération de multiplication dans une algèbre géométrique est appelée produit géométrique. Elle est le plus souvent notée sans symbole, par simple juxtaposition des opérandes. Cependant certains auteurs, notamment , préconisent l'utilisation du symbole unicode U+27D1 : ⟑.

Lorsque est de dimension finie, et que le carré de tout élément de est positif, il sera vu plus loin que est alors dotée d'une structure d'espace vectoriel euclidien. On pourra alors parler de « cas euclidien ».

Algèbre de Clifford

La donnée d'un espace vectoriel et d'une forme quadratique sur permet de construire une algèbre associative unitaire dans laquelle est plongée, dite générée par sous la condition . Cette algèbre est ce qu'on appelle l'algèbre de Clifford associé à , notée .

Si une algèbre de Clifford requiert une forme quadratique pour sa définition, on verra plus loin qu'inversement, une algèbre géométrique permet de définir de façon unique une forme quadratique à partir du produit géométrique. La notion d'algèbre géométrique est donc identique à celle d'algèbre de Clifford, la seule différence étant l'ordre de présentation : une algèbre de Clifford est définie à partir d'un espace vectoriel et d'une forme quadratique, tandis qu'une algèbre géométrique est définie à partir d'une algèbre et d'un sous-espace vectoriel particulier. C'est pourquoi de nombreuses sources définissent purement et simplement les algèbres géométriques comme des algèbres de Clifford, assimilant exactement les deux concepts.

Vecteur

Même si est en tant qu'algèbre doté d'une structure d'espace vectoriel, David Hestenes réserve le mot vecteur aux éléments de . Dans cet article, en règle générale, les vecteurs seront notés en bas de casse gras.

Produits intérieur et extérieur

À partir du produit géométrique de deux vecteurs et , on définit deux nouveaux produits, dont le premier est symétrique et le second antisymétriqueOn suppose, ici et dans tout le reste de l'article, que la caractéristique de est différente de 2, c'est-à-dire que 2 est non nul et donc inversible. :

est appelé produit intérieur, est appelé produit extérieur. La littérature scientifique francophone utilise aussi le chevron () pour désigner le produit vectoriel. Cette ambiguïté n'existe pas dans la littérature anglophone car le produit vectoriel y est désigné par le symbole .

Démonstration :

Le produit extérieur est généralisé à vecteurs par la définition suivante :

où est le groupe des permutations d'indice . Si r = 2, cela se réduit au produit extérieur de deux vecteurs définis précédemment.

Il sera vu plus loin que le produit intérieur correspond au produit scalaire usuel. Quant au produit extérieur, bien que ce n'est pas démontré dans cet article, il correspond au produit extérieur tel que définit dans l'article algèbre extérieure. Cette identité justifie l'utilisation de la même terminologie et de la même notation.

Décomposition canonique

Pour deux vecteurs et , on a la relation suivante, qui constitue la décomposition dite canonique du produit géométrique de deux vecteurs :

et sont respectivement appelés partie scalaire et partie bivectorielle du produit géométrique . Cette terminologie est justifiée par les observations précédentes, quant à la nature des produits intérieurs et extérieurs.

Multivecteur Les éléments de sont appelés multivecteurs. Hestenes utilise aussi parfois l'expression , qu'on peut traduire par nombre orienté. Cependant, le terme multivecteur semble prévaloir dans les publications récentes.

Verseur Un verseur ( en anglais) est un multivecteur qui peut être écrit comme produit géométrique de vecteurs non nuls. Le nombre de vecteurs formant par produit géométrique un verseur donné est minoré par ce qu'on appelle son grade.

Comme il sera vu plus loin dans cet article, les verseurs sont à la base de la plupart des applications de l'algèbre géométrique, car leur exponentiation permet de générer notamment les isométries dans le cas euclidien.

Base canonique On considère une base de qui soit orthonormée pour le produit intérieur. On peut en trouver une en appliquant l'Algorithme de Gram-Schmidt sur une base de avec le produit intérieur, qui est une forme bilinéaire symétrique, même si le produit intérieur n'est pas un Produit scalaire si un élément de est de carré négatif ou nul.

Deux vecteurs différents de cette base orthonormée étant de produit intérieur nul, ils anti-commutent, d'où la définition de la base canonique suivante.

Une base canonique est une base de (vu en tant qu'espace vectoriel) telle qu'il existe une base orthonormée de dans laquelle les éléments de la base canonique peuvent s'écrireLa notation , c'est-à-dire utilisant une lettre majuscule en indice, est ici empruntée à . On a choisi cependant de ne pas utiliser de gras pour le symbole lorsqu'il est utilisé ainsi, puisqu'il ne désigne pas un vecteur, mais un produit géométrique de vecteurs. :

où est une suite finie et strictement croissante d'entiers positifs.

Dimension finie

Les définitions de cette sous-section ne sont valables que lorsque est de dimension finie .

Pseudoscalaire

Un pseudoscalaire est un verseur dont le grade est égal à la dimension de l'espace. Tous les pseudoscalaires sont multiples les uns des autres, c'est-à-dire que

Tous les pseudoscalaires unitairesL'existence de pseudoscalaires unitaires n'est pas assurée. Dans le cas contraire, est dit dégénéré. Dans cet article et sauf mention contraire, on se place dans le cas non dégénéré., notés , sont égaux à un signe moins près. Cette quasi-unicité justifie une notation indépendante du choix des vecteurs , ainsi que l'utilisation de l'article défini.

Le pseudoscalaire unitaire est donc défini par :

Dualité

La dimension finie permet de fixer une dualité, et avec elle un opérateur d'intersection () tel que l'intersection de deux multivecteurs est, à un facteur de proportionnalité près, le dual du produit extérieur des duaux.

Il existe plusieurs choix de dualité, comme la dualité de Poincaré et la dualité de Hodge.

Analyse multivectorielle

Tout comme la donnée d'un espace vectoriel permet l'analyse vectorielle, c'est-à-dire l'étude du calcul infinitésimal pour des fonctions définies sur cet espace vectoriel à valeurs scalaires ou vectorielles, la donnée d'une algèbre géométrique, dont les éléments sont appelés multivecteurs, permet l'analyse dite multivectorielle des fonctions définies sur mais à valeurs cette fois potentiellement multivectorielles. Les anglophones, à l'instar d'Hestenes, parlent de ou , tout comme ils parlent de pour désigner ce que les francophones appellent analyse vectorielle.

Propriétés

Symétrie et antisymétrie des produits intérieur et extérieur

Les produits intérieur et extérieur de deux vecteurs sont, par construction, respectivement symétrique et antisymétrique :

Plus généralement, le produit extérieur de plusieurs vecteurs est antisymétrique :

Caractérisation algébrique de notions géométriques

Colinéarité et orthogonalité

Cette observation, ajoutée à la définition de l'orthogonalité, permet de déduire les deux propriétés fondamentales suivantes :

Indépendance linéaire