vignette|L'aire du parallélogramme est la valeur absolue du déterminant de la matrice formée par les vecteurs correspondants aux côtés du parallélogramme.
En mathématiques, le déterminant est une valeur qu'on peut associer aux matrices ou aux applications linéaires en dimension finie. Sur les exemples les plus simples, ceux de la géométrie euclidienne en dimension 2 ou 3, il s'interprète en termes d'aires ou de volumes, et son signe est relié à la notion d'orientation. Il fut initialement introduit en algèbre, pour résoudre un système d'équations linéaires comportant autant d'équations que d'inconnues. Il se révèle être un outil très puissant dans de nombreux domaines. Il intervient ainsi dans l'étude des endomorphismes, la recherche de leurs valeurs propres, les propriétés d'indépendance linéaire de certaines familles de vecteurs, mais aussi dans le calcul différentiel, par exemple dans la formule de changement de variables dans les intégrales multiples.
Comme pour de nombreuses opérations, le déterminant peut être défini par une collection de propriétés (axiomes) qu'on résume par le terme « forme multilinéaire alternée ». Cette définition permet d'en faire une étude théorique complète et d'élargir ses champs d'applications. Le déterminant peut aussi se concevoir comme une généralisation à l'espace de dimension n de la notion d'aire ou de volume orientés.
Un domaine spécifique de l'algèbre est consacré à l'étude du déterminant et de ses généralisations : il s'agit de l'algèbre multilinéaire.
Histoire des déterminants
Les déterminants sont introduits en Occident à partir du par Cardan, soit bien avant les matrices, qui n'apparaissent qu'au . Les Chinois sont cependant les premiers à utiliser des tableaux de nombres et à appliquer un algorithme maintenant connu sous le nom de procédé d'élimination de Gauss-Jordan.
Premiers calculs de déterminants
Dans son sens originel, le déterminant détermine l'unicité de la solution d'un système d'équations linéaires. Il est introduit dans le cas de la taille 2 par Cardan en 1545 dans son Ars Magna, sous forme d'une règle pour la résolution de systèmes de deux équations à deux inconnues.. Cette première formule porte le nom de regula de modo.
L'apparition des déterminants de taille supérieure demande ensuite plus de cent ans. Alors que le Japon est coupé du monde extérieur, le Japonais Seki Kōwa et l'Allemand Leibniz en donnent les premiers exemples presque simultanément.
Leibniz étudie de nombreux systèmes d'équations linéaires. En l'absence de notation matricielle, il représente les coefficients inconnus par un couple d'indices : il note ainsi ij pour ai, j. En 1678, il s'intéresse à un système de trois équations et trois inconnues et donne, sur cet exemple, la formule de développement suivant une colonne. La même année, il écrit un déterminant de taille 4, correct aux signes près.. Leibniz ne publie pas ses travaux, qui semblent avoir été oubliés avant que les résultats soient redécouverts indépendamment une cinquantaine d'années plus tard.
À la même période, Seki Kōwa publie un manuscrit sur les déterminants, où il énonce une formulation générale difficile à interpréter. Celle-ci semble donner des formules correctes pour des déterminants de taille 3 et 4, et de nouveau des signes erronés pour les déterminants de taille supérieure.. La découverte restera sans lendemain, à cause de la coupure du Japon avec le monde extérieur.
Déterminants de taille quelconque
En 1748, un traité d'algèbre posthume de Maclaurin relance la théorie des déterminants, avec l'écriture correcte de la solution d'un système de quatre équations et quatre inconnues..
En 1750, Cramer formule les règles qui permettent de résoudre un système de n équations et n inconnues, mais sans en donner la démonstration.. Les méthodes de calcul des déterminants sont alors délicates, puisque fondées sur la notion de signature d'une permutation Moritz Cantor, Geschichte der Mathematik, Teubner, 1913..
Les mathématiciens s'emparent de ce nouvel objet, avec des articles de Bézout en 1764., de Vandermonde en 1771. (étonnamment ne donnant pas le calcul du déterminant de la matrice de Vandermonde actuelle Victor-Amédée Lebesgue, conférence d'Utrecht, 1837. ; c'est un exemple célèbre d'illustration de la loi de Stigler). En 1772, Laplace établit les formules de récurrence portant son nom. L'année suivante, Lagrange découvre le lien entre le calcul des déterminants et celui des volumes...
Gauss utilise pour la première fois le mot « déterminant » dans les Disquisitiones arithmeticae en 1801. Il l'emploie pour ce que nous qualifions aujourd'hui de discriminant d'une forme quadratique binaire et qui est un cas particulier du déterminant moderne. Il est également près d'obtenir le théorème sur le déterminant d'un produitL'essentiel des informations de ce paragraphe provient de .
Mise en place de la notion moderne de déterminant
Cauchy emploie le mot déterminant dans son sens moderne. On peut ainsi lire dans son article de synthèse de 1815 sur cette question :
Elle représente une synthèse des connaissances antérieures, ainsi que des propositions nouvelles comme le fait que l'application transposée ne modifie pas le déterminant ainsi que la formule du déterminant d'un produit. Binet propose également une démonstration cette même année.
En publiant ses trois traités sur les déterminants en 1841 dans le journal de Crelle, Jacobi donne une véritable notoriété à la notion. Pour la première fois, il présente des méthodes de calcul systématiques, sous forme algorithmique. Il devient également possible d'évaluer des déterminants de fonctions avec la naissance du jacobien.
De 1832 à 1844, les travaux de Grassmann fondent l'algèbre extérieure et donnent un sens plus général aux déterminants au travers de la représentation des grassmanniennes.
Le cadre matriciel est introduit par les travaux de Cayley et Sylvester. Cayley est également l'inventeur de la notation des déterminants par des barres verticales ; il établit la formule de calcul de l'inverse.
La théorie s'étoffe par l'étude de déterminants ayant des propriétés de symétrie particulières et par l'introduction du déterminant dans de nouveaux champs des mathématiques, comme le wronskien pour les équations différentielles linéaires.
En 1867, Lewis Carroll s’appuie sur le traité Theorie und Anwendung der Determinanten publié par en 1864 pour rédiger lui-même , dans lequel il énonce soixante-dix propriétés dont soixante sont, d'après lui, originales Charles L. Dodgson, , introduction: « Of the seventy Propositions contained in the following treatise, ten are substantially taken from Baltzer's treatise on Determinants; also the Geometrical Tests, given in Chapter VIII, are to be found in most works on Algebraical Geometry: the rest of the matter is, so far as I know, original, and consists of a series of Propositions which the object I had in view obliged me to introduce. ».
Premiers exemples : aires et volumes Les calculs d'aires et de volumes sous forme de déterminants dans des espaces euclidiens apparaissent comme des cas particuliers de la notion générale. Cette vision des déterminants permet une approche plus géométrique de leurs propriétés.
Déterminant de deux vecteurs dans le plan euclidien
Soit P le plan euclidien orienté usuel. Le déterminant des vecteurs et est donné par l'expression analytique
ou, de façon équivalente, par l'expression géométrique
dans laquelle est l'angle orienté formé par les vecteurs et .
Propriétés La valeur absolue du déterminant est égale à l'aire du parallélogramme défini par et (en effet, est la longueur de la hauteur du parallélogramme associée au côté et l'aire du parallélogramme est ). Le déterminant est nul si et seulement si les deux vecteurs sont colinéaires (le parallélogramme devient une ligne).
Cette annulation apparaît comme un test de proportionnalité des composantes des vecteurs par produit en croix.
Le déterminant des vecteurs et est strictement positif si et seulement si la mesure principale de l'angle entre ces deux vecteurs est comprise dans l'intervalle . L'application déterminant est bilinéaire : la linéarité par rapport au premier vecteur s'écritet celle par rapport au second vecteur s'écrit
On peut illustrer la linéarité en considérant deux parallélogrammes adjacents, l'un défini par les vecteurs u et v, l'autre par les vecteurs u et v. L'aire du parallélogramme défini par les vecteurs u+u et v est égale à la somme des aires des deux parallélogrammes précédents, à laquelle est enlevée l'aire d'un triangle, et ajoutée l'aire d'un autre triangle ; les deux triangles se correspondant par translation. La formule suivante est vérifiée :
Ce dessin correspond à un cas particulier de la formule de bilinéarité puisque les orientations ont été choisies de façon que les aires aient le même signe, mais il aide à en saisir le contenu géométrique.
Généralisation Il est possible de définir la notion de déterminant dans un plan euclidien orienté muni d'une base orthonormale directe B, en utilisant les coordonnées des vecteurs dans cette base. Le calcul de déterminant donne le même résultat quelle que soit la base orthonormale directe choisie pour le calcul.
Déterminant de trois vecteurs dans l'espace euclidien Soit E l'espace euclidien orienté usuel de dimension 3. Le déterminant de trois vecteurs de E est donné par
Ce déterminant porte encore le nom de produit mixte en dimension 3 ; un procédé visuel pour retrouver cette formule est connu sous le nom de règle de Sarrus.
Propriétés
La valeur absolue du déterminant est égale au volume du parallélépipède défini par les trois vecteurs. Le déterminant est nul si et seulement si les trois vecteurs sont contenus dans un même plan (parallélépipède « plat »). L'application déterminant est trilinéaire : notamment
Comme pour la bilinéarité (vu supra), une illustration géométrique peut s'obtenir en considérant deux parallélépipèdes adjacents, c'est-à-dire possédant une face commune.
Interprétation du signe du déterminant : orientation
Dans le plan, le signe du déterminant s'interprète comme le signe de l'angle orienté.
Dans l'espace à trois dimensions, le cube unité sert de référence. Son déterminant vaut un. Un parallélépipède non plat possède un déterminant positif s'il est possible de l'obtenir en déformant continûment, sans jamais l'aplatir, le cube unité.
Le déterminant est au contraire négatif s'il est nécessaire d'appliquer en plus une symétrie, c'est-à-dire si le cube unité ne peut être obtenu qu'en déformant le parallélépipède, puis en observant le résultat de cette déformation dans un miroir.
Approche intuitive du déterminant d'une application linéaire Une application linéaire est une application qui transforme les coordonnées d'un vecteur de manière linéaire. Par exemple dans l'espace de dimension 3, l'application est linéaire si les coordonnées x, y et z d'un vecteur ont pour image x, y et z avec :
où a, b, c, d, e, f, g, h et i sont des nombres.
Pour être plus précis, le déterminant d'une application linéaire est un nombre, qui représente un facteur multiplicatif pour les volumes. Si le cube jaune est de volume 1, alors le volume du cube vert est la valeur absolue du déterminant de la première application. La deuxième application a un déterminant nul, ce qui correspond à un aplatissement des volumes.
Le déterminant est positif s'il est possible de déformer continûment le cube jaune pour obtenir le vert. Il est au contraire négatif s'il est nécessaire d'y appliquer en plus une symétrie.
En fait cette propriété n'est pas uniquement vraie pour le cube unité jaune. Tout volume transformé par une application linéaire est multiplié par la valeur absolue du déterminant.