En mathématiques, la classification des groupes finis simples établit que chacun de ces groupes est : soit cyclique, soit alterné, soit membre d'une des seize familles de groupes de type de Lie (incluant le groupe de Tits), soit l'un des 26 groupes sporadiques (le groupe de Tits est parfois inclus dans les groupes de type de Lie, d'autres fois dans les groupes sporadiques).
La liste ci-dessous recense les groupes finis simples en les organisant par famille et précise à chaque fois leur ordre, la taille de leur multiplicateur de Schur, celle de leur groupe d'automorphismes extérieurs et éventuellement certaines représentations habituelles. Les groupes finis simples sont déterminés par leur ordre, excepté les groupes Bn(q) et Cn(q) dont l'ordre est identique pour n > 2 et q impair, et les groupes A8 (ou A3(2)) et A2(4) dont l'ordre est .
À titre de notation, dans cette liste, n désigne un entier strictement positif, p un nombre premier et q une puissance entière de p. L'ordre du groupe d'automorphismes extérieurs est donné sous la forme d·f·g, où d est l'ordre du groupe des automorphismes diagonaux, f est celui du groupe d'automorphismes de corps (engendrés par un automorphisme de Frobenius) et g celui du groupe des automorphismes de graphe (provenant des automorphismes du diagramme de Dynkin).
Familles infinies
Groupes cycliques Z, p premier
Notation : ℤ ou ℤ/pℤ
Simplicité : tous simples.
Ordre : p.
Multiplicateur de Schur : trivial.
Groupe d'automorphismes extérieurs : cyclique d'ordre p-1.
Remarque : parmi les groupes simples, les groupes cycliques d'ordre premier sont les seuls abéliens, donc non parfaits.
Groupes alternés A, n ≥ 5
Notation : A. Il existe un conflit avec la notation des groupes de type de Lie A(q) qui n'ont aucun lien avec les groupes alternés ; certains auteurs utilisent des polices distinctes afin de les distinguer.
Simplicité : tous simples.
Ordre : n ! / 2.
Multiplicateur de Schur : 2 en général. Exceptions : ℤ pour n = 6 ou 7.
Groupe d'automorphismes extérieurs : 2 en général. Exception : pour n = 6, c'est le groupe de Klein (d'ordre 4).
Remarques : A existe aussi pour n < 5 mais il est trivial pour n ≤ 2, A est isomorphe à ℤ, A est résoluble ; A est un sous-groupe d'indice 2 du groupe symétrique S des permutations de n points dès n > 1 ; A est l'unique groupe simple d'ordre 360.
Groupes classiques
Groupes de Chevalley linéaires A(q)
Notation : A(q)
Autres noms : groupes projectifs spéciaux linéaires, PSLn+1(q), Ln+1(q), PSL(n+1,q), PSLn+1(F)
Simplicité : A(2)≃S et A(3)≃A sont résolubles, les autres sont simples.
Ordre :
où désigne le PGCD de et .
Multiplicateur de Schur : pour les groupes simples, il est cyclique d'ordre (n+1, q − 1), excepté pour A(4) (ordre 2), A(9) (ordre 6), A(2) (ordre 2), A(4) (ordre 48, produit de groupes cycliques d'ordres 3, 4, 4), A(2) (ordre 2).
Groupe d'automorphismes extérieurs : (2, q − 1) ·f·1 pour n = 1 ; (n+1, q − 1) ·f·2 pour n > 1, où q = p.
Isomorphismes (entre eux ou avec des groupes précédents) : A(4) et A(5) sont isomorphes à A. A(7) et A(2) sont isomorphes. A(9) est isomorphe à A. A(2) est isomorphe à A.
Remarques : A(q) s'obtient à partir du groupe général linéaire GLn+1(q) sur le corps fini F en prenant les éléments de déterminant 1 (ce qui donne le groupe spécial linéaire SLn+1(q)) puis en quotientant par le centre. Le plus petit groupe de cette famille qui soit simple et non isomorphe à un A est le groupe simple d'ordre 168, A(7)≃A(2).
Groupes de Chevalley orthogonaux B(q), n ≥ 2
Simplicité : B(2)≃S n'est ni simple, ni résoluble ; les autres sont simples.
Ordre :
Multiplicateur de Schur : (2,q − 1) en général. Exceptions : 2 pour B(2)≃S, 2 pour B(2), 6 pour B(3).
Groupe d'automorphismes extérieurs : (2, q − 1) ·f·1 pour q impair ou n>2 ; (2, q − 1) ·f·2 si q est pair et n=2, où q = p.
Autres noms : O(q), Ω(q) (pour q impair).
Remarques : Ce groupe est obtenu à partir du groupe orthogonal O(2n+1) en prenant le noyau du déterminant et de l'application norme de spin. B(q) existe aussi, mais est isomorphe à A1(q).
Groupes de Chevalley symplectiques C(q), n ≥ 3
Simplicité : tous simples.
Ordre :
Multiplicateur de Schur : (2,q − 1) en général. Exception : 2 pour C(2).
Groupe d'automorphismes extérieurs : (2, q − 1) ·f·1, où q = p.
Autres noms : groupe projectif symplectique, PSp(q), PSp(q) (non recommandé), S(q).
Isomorphismes (avec des groupes précédents) : C(2) est isomorphe à B(2).
Remarques : Ce groupe est obtenu à partir du groupe symplectique en 2n dimensions en quotientant par le centre. C(q) existe aussi, mais est isomorphe à A(q). C(q) existe aussi, mais est isomorphe à B(q).
Groupes de Chevalley orthogonaux Dn(q), n ≥ 4
Simplicité : tous simples.
Ordre :
Multiplicateur de Schur : l'ordre est (4,q-1), sauf pour D(2) (ordre 4). Cyclique pour n impair, abélien élémentaire pour n pair.
Groupe d'automorphismes extérieurs : (2, q − 1)·f·6 pour n=4 (le groupe de diagramme d'automorphismes, inhabituellement grand, est isomorphe à S et contient l'automorphisme de ). (2, q − 1)·f·2 pour n>4 pair, (4, q − 1)·f·2 pour n impair, où q = p.
Autres noms : O(q), PΩ(q).
Remarques : Ce groupe est obtenu à partir du groupe orthogonal O(n,n) en prenant le noyau du déterminant (ou l'invariant de Dickson en caractéristique 2) et de l'application norme de spin puis en quotientant par le centre. D(q) existe aussi, mais est isomorphe à A1(q)×A(q). D(q) existe aussi, mais est isomorphe à A3(q).
Groupes de Steinberg unitaires A(q), n ≥ 2
Autres noms : groupes de Chevalley tordus, .
Notations : A(q), PSU(q), PSU(n+1,q), U(q), A(q), A(q,q), pour n > 1.
Simplicité : A(2) est résoluble (c'est une extension du groupe des quaternions par ℤ×ℤ), les autres sont simples.
Ordre :
Multiplicateur de Schur : cyclique d'ordre (n + 1, q + 1) pour les groupes simples, excepté pour A(2) (ordre 2) A(3) (ordre 36, produit de groupes cycliques d'ordres 3,3,4) et A(2) (ordre 12, produit de groupes cycliques d'ordres 2,2,3)
Groupe d'automorphismes extérieurs : (n+1, q + 1) · f·1, où q = p.
Isomorphisme : A(2) est isomorphe à B(3).
Remarques : Ce groupe s'obtient à partir du groupe unitaire en n+1 dimensions en prenant le sous-groupe des éléments de déterminant 1 puis en quotientant par le centre. A(q) existe aussi mais il est résoluble.
Groupes de Steinberg orthogonaux D(q), n ≥ 4 Simplicité : tous simples.
Ordre :
Multiplicateur de Schur : cyclique d'ordre (4, q + 1).
Groupe d'automorphismes extérieurs : (4, qn + 1) ·f·1, où q = p.
Autres noms : D(q), O(q), PΩ(q), groupe de Chevalley tordu.
Remarques : Ce groupe s'obtient à partir du groupe orthogonal O(2n) en prenant le noyau du déterminant (ou l'invariant de Dickson en caractéristique 2) et de l'application de norme de spin puis en quotientant par le centre. D(q) existe aussi, mais est isomorphe à A(q). D(q) existe aussi, mais est isomorphe à A(q).
Groupes de type de Lie exceptionnels
Groupes de Chevalley E(q)
Simplicité : tous simples.
Ordre : q(q−1)(q−1)(q−1)(q−1)(q−1)(q−1) /(3,q-1)
Multiplicateur de Schur : (3,q − 1).
Groupe d'automorphismes extérieurs : (3, q − 1) ·f·2, où q = p.
Autre nom : groupe de Chevalley exceptionnel.
Remarque : possède deux représentations de degré 27, et agit sur l'algèbre de Lie de dimension 78.
Groupes de Chevalley E(q)
Simplicité : tous simples.
Ordre : q(q−1)(q−1)(q−1)(q−1)(q−1)(q−1) /(2,q-1).
Multiplicateur de Schur : (2,q − 1).
Groupe d'automorphismes extérieurs : (2, q − 1) ·f·1, où q = p.
Autre nom : groupe de Chevalley exceptionnel.
Remarque : possède une représentation de degré 56, et agit sur l'algèbre de Lie correspondante de dimension 133.
Groupes de Chevalley E(q)
Simplicité : tous simples.
Ordre : q(q−1)(q−1)(q−1)(q−1)(q−1)(q−1)(q−1)(q−1)
Multiplicateur de Schur : trivial.
Groupe d'automorphismes extérieurs : 1·f·1, où q = p.
Autre nom : groupe de Chevalley exceptionnel.
Remarques : Il agit sur l'algèbre de Lie correspondante de dimension 248. E(3) contient le groupe de Thompson.
Groupes de Chevalley F(q)
Simplicité : tous simples.
Ordre : q(q−1)(q−1)(q−1)(q−1).
Multiplicateur de Schur : trivial excepté pour F(2) (ordre 2).
Groupe d'automorphismes extérieurs : 1·f·1 pour q impair, 1·f·2 pour q pair, où q = p.
Autre nom : groupe de Chevalley exceptionnel.
Remarque : ces groupes agissent sur des algèbres de Jordan exceptionnelles de dimension 27, ce qui leur donne des représentations de degré 26. Ils agissent aussi sur les algèbres de Lie correspondantes de dimension 52.
Groupes de Chevalley G(q)
Simplicité : G(2) n'est ni simple, ni résoluble (son sous-groupe dérivé, isomorphe au groupe simple A(3), est d'indice 2) ; les autres sont simples.
Ordre : q(q−1)(q−1).
Multiplicateur de Schur : trivial pour les groupes simples excepté pour G(3) (ordre 3) et G(4) (ordre 2).
Groupe d'automorphismes extérieurs : 1·f·1 pour q non puissance de 3, 1·f·2 pour q puissance de 3, où q = p.
Autre nom : groupe de Chevalley exceptionnel.
Remarque : ces groupes sont des groupes d'automorphismes des algèbres de Cayley de dimension 8 sur des corps finis, ce qui leur donne des représentations de degré 7. Ils agissent aussi sur les algèbres de Lie correspondantes de dimension 14.
Groupes de Steinberg E(q)
Simplicité : tous simples.
Ordre : q(q−1)(q−1)(q−1)(q−1)(q−1)(q−1)/(3,q+1).
Multiplicateur de Schur : (3, q + 1) excepté pour E(2) (ordre 12, produit de groupes cycliques d'ordres 2,2,3).
Groupe d'automorphismes extérieurs : (3, q + 1) ·f·1, où q = p.
Autres noms : E(q), groupe de Chevalley tordu.
Remarques : un des doubles exceptionnels de E(2) est un sous-groupe du groupe Bébé Monstre, et l'extension centrale exceptionnelle par le groupe de Klein est un sous-groupe du groupe Monstre.
Groupes de Steinberg D(q)
Simplicité : tous simples.
Ordre : q(q+q+1)(q−1)(q−1).
Multiplicateur de Schur : trivial.
Groupe d'automorphismes extérieurs : 1·f·1, où q = p.
Autres noms : D(q), groupes de Chevalley tordus.
Remarque : D(2) agit sur l'unique réseau pair à 26 dimensions de déterminant 3 sans racine.
Groupes de Suzuki B(2), n ≥ 1
Simplicité : tous simples.
Ordre : q(q+1)(q−1), où q = 2.
Multiplicateur de Schur : trivial en général. Exception : groupe de Klein pour B(8).
Groupe d'automorphismes extérieurs : 1·f·1, où f = 2n+1.
Autres noms : Suz(2), Sz(2).
Remarques : Les groupes de Suzuki sont des agissant sur les ensembles de taille (2)+1, et ont des représentations de degré 4 sur le corps à 2 éléments. Ce sont les seuls groupes simples non cycliques dont l'ordre n'est pas divisible par 3. Ils ne sont pas reliés au groupe de Suzuki sporadique. Le groupe B(2) existe aussi, mais c'est le groupe de Frobenius d'ordre 20, résoluble.
Groupes de Ree F(2) et groupe de Tits
Simplicité : simple pour n ≥ 1. Le groupe dérivé F(2)′ (d'indice 2 dans F(2)) est simple ; c'est le groupe de Tits.
Ordre : F(2) est d'ordre q(q+1)(q−1)(q+1)(q−1), où q = 2.
Multiplicateur de Schur : trivial pour n ≥ 1 et pour le groupe de Tits.
Groupe d'automorphismes extérieurs : 1·f·1, où f = 2n+1. Ordre 2 pour le groupe de Tits.
Remarque : le groupe de Tits n'est pas à strictement parler un groupe de type Lie et en particulier, il n'est pas le groupe de points d'un groupe algébrique simple connexe à valeurs dans un certain corps et n'a pas de paire (B,N). Néanmoins, la plupart des auteurs le comptent comme une sorte de groupe de type Lie honoraire.
Groupes de Ree G(3), n ≥ 1
Simplicité : tous simples.
Ordre : q(q+1)(q−1), où q = 3.
Multiplicateur de Schur : trivial.
Groupe d'automorphismes extérieurs : 1·f·1, où f = 2n+1.
Autres noms : Ree(3), R(3).
Remarques : G(3) possède une action doublement transitive sur 3+1 points et une représentation de degré 7 sur le corps à 3 éléments. G(3) existe aussi mais n'est pas simple ; son groupe dérivé (d'indice 3) est le groupe simple A(8).
Groupes sporadiques