En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, l'exponentielle d'une matrice est une fonction généralisant la fonction exponentielle aux matrices et aux endomorphismes par le calcul fonctionnel. Elle fait en particulier le pont entre un groupe de Lie et son algèbre de Lie.
Définition
Pour n = 1, on retrouve la définition de l'exponentielle complexe.
Propriétés
Sauf indication contraire, , désignent des matrices complexes (à coefficients complexes).
Propriétés générales L'exponentielle de la matrice nulle est la matrice identité : ; Le déterminant de l'exponentielle d'une matrice est égal à l'exponentielle de sa trace : ; si est une matrice inversible, alors ; l'exponentielle de matrice vérifie la limite : ; (formule de Trotter-Kato) ; il existe un polynôme d'endomorphisme (dépendant de X) tel que . L'exponentielle induit une surjection continue de (ensemble des matrices antisymétriques) dans (groupe spécial orthogonal des matrices orthogonales) de déterminant . Elle induit de plus un homéomorphisme de (ensemble des matrices symétriques) dans (ensemble des matrices symétriques définies positives).
Transposition et conjugaison La transposée, la conjuguée et l'adjointe d'une matrice sont notées , et . L'exponentielle de la transposée d'une matrice est la transposée de l'exponentielle de la matrice : . Il s'ensuit que : si est symétrique (), alors l'est aussi : ; si est antisymétrique () et réelle (à coefficients réels), alors est orthogonale : . L'exponentielle de la conjuguée d'une matrice est la conjuguée de l'exponentielle de la matrice : et donc, compte tenu de la propriété précédente : L'exponentielle de l'adjointe d'une matrice est l'adjointe de l'exponentielle de la matrice : . Il s'ensuit que : si est hermitienne (), alors l'est aussi : ; si est antihermitienne (), alors est unitaire : .
Commutativité Le commutateur de et est noté . Si (les matrices commutent) alors . Plus généralement, en supposant seulement que commute avec et , (formule de Glauber).
Encore plus généralement, la formule de Baker-Campbell-Hausdorff donne l'expression de , plus précisément d'un logarithme de , par une série ne faisant intervenir que , et leurs commutateurs. Les premiers termes sont.Pour plus de termes, voir par exemple . :
La réciproque est cependant fausse : pour
on a
mais ces deux matrices ne commutent pas.
Application exponentielle
Application exponentielle de matrice L'exponentielle d'une matrice est toujours inversible. L'inverse de est donné par . Cette fonction est donc une application de l'ensemble des matrices vers le groupe général linéaire, c'est-à-dire le groupe de toutes les matrices inversibles. Cette application est surjective.
Pour deux matrices et , nous avons :
où || · || désigne une norme matricielle arbitraire. Il suit que l'application exponentielle est continue et lipschitzienne sur tout sous-ensemble compact de .
L'application est même de classe .
Sa différentielle en est l'identité et elle réalise un difféomorphisme entre un voisinage de et un voisinage de l'identité.
Application L'application :
définit une courbe de classe dans le groupe linéaire qui passe par l'identité en t = 0. Cette courbe est en fait un sous-groupe de Lie commutatif à un paramètre de puisque : .
La dérivée de cette courbe au point t est donnée par :
(la dérivée au point t = 0 est la matrice , ce qui revient à dire que engendre ce sous-groupe à un paramètre)
En effet, plus généralement, la différentielle de l'application exponentielle en une matrice est donnée par :
où désigne la fonction bêta, d'où : .
Exemples physiques Rotation dans le plan Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé, considérons la matrice de rotation d'angle : . Alors :
est la matrice de rotation d'angle ..
Transformation de Galilée Soit la matrice : . Alors :
est la matrice de transformation de Galilée dans le plan pour un déplacement de vitesse sur l'axe : .
Transformation de Lorentz Soit la matrice : . Alors :
est la matrice de transformation de Lorentz dans le plan pour un déplacement de rapidité sur l'axe .
Rotations dans l'espace Soit un vecteur unitaire de cosinus directeurs ( avec ), et soit la matriceCette matrice est celle qui permet d'écrire le produit vectoriel comme une application linéaire : : . Alors :
est la matrice de rotation d'angle autour d'un axe de vecteur unitaire .
Déformations En géologie structurale, on s'intéresse à la déformation finie résultant, au bout d'un certain temps, d'une déformation progressive : , , où désigne le vecteur position par rapport à un point matériel arbitraire choisi comme origine (qui peut suivre n'importe quelle trajectoire entre les instants et ), la position initiale (à ) et la position finale (à ). est la « matrice de déformation finie » et la « matrice de déformation progressive ».
Si est une matrice constante , alors : . Si varie mais commute avec sa dérivée C'est notamment le cas quand est proportionnelle à une matrice constante (), ou bien encore si elle est diagonale., alors la formule précédente se généralise en.Pour vérifier que cette expression est bien une (la) solution du système différentiel et des conditions initiales ci-dessus, il suffit de calculer en appliquant la définition de l'exponentielle d'une matrice : . : . Dans le cas général on ne sait exprimer que sous la forme d'un développement en série..
Calculs de l'exponentielle d'une matrice
Le calcul d'une exponentielle de matrice n'est pas a priori un problème facile. Cependant, dans certains cas, et notamment ceux d'une matrice diagonale et d'une matrice nilpotente, il ne présente aucune difficulté. Une fois cette remarque faite, le cas général peut se traiter en se ramenant aux deux cas précédents.
Matrice diagonalisable
Si D est une matrice diagonale, c'est-à-dire :
,
alors son exponentielle est obtenue en calculant l'exponentielle de chacun des termes de la diagonale principale :
.
Si A est une matrice diagonalisable, c'est-à-dire :
où D est diagonale, alors .
L'application exponentielle préserve ainsi les espaces propres, soit les sous-espaces engendrés par les vecteurs colonnes de P.
De plus, les valeurs propres de sont les exponentielles de celles de A, soit les éléments diagonaux de eD.
Matrice nilpotente
Une matrice N est nilpotente si Nq = 0 pour un entier q. Dans ce cas, son exponentielle se calcule directement à partir de son développement en série, puisque celui-ci ne comporte alors qu'un nombre fini de termes :
.
Matrice quelconque
Lorsque le polynôme minimal d'une matrice X est scindé (ce qui est en particulier toujours le cas pour les matrices à coefficients complexes), la décomposition de Dunford donne
où A est diagonalisable ; N est nilpotente ; A commute avec N.
Dès lors, le calcul de l'exponentielle de X se réduit aux deux cas précédents : .
On peut aussi faire appel à la réduction de Jordan : soit J la forme de Jordan de X, et P la matrice de passage. Alors,
.
Puisque ,
|.
En conséquence, il faut seulement connaître la méthode pour calculer l'exponentielle d'un bloc de Jordan. Chacun est de la forme
où N est une matrice nilpotente. L'exponentielle du bloc est donnée par .
Exemple Soit la matrice
qui a la forme de Jordan
et la matrice de passage
,
d'inverse .
Maintenant, .
L'exponentielle de la matrice 1×1 J(4) = est simplement la matrice 1×1 [e].
L'exponentielle de la matrice 2×2 J(16) peut se calculer par la formule e = e e mentionnée ci-dessus ; on obtient
,
d'où
.
Applications
Équations différentielles linéaires
Une des premières applications de l'exponentielle de matrices est la résolution des équations différentielles ordinaires. En effet, de l'équation ci-dessus, on déduit que la solution de : , où A est une matrice, est donnée par .
L'exponentielle d'une matrice peut aussi servir à résoudre les équations non homogènes : .
En multipliant par , nous avons
.
La résolution du système se ramène donc au calcul de .
Il n'existe pas de solution explicite pour les équations différentielles de la forme :
où A n'est pas constant, mais le développement de Magnus donne la solution sous la forme d'une somme infinie.
Exemple (équation homogène) Soit le système
La matrice associée est
et son exponentielle est
La solution générale du système est donc
c'est-à-dire, en posant , et :
Exemple (équation non homogène, variation de la constante) Pour une équation non homogène, on peut utiliser une méthode semblable à la variation de la constante.
Nous cherchons une solution de la forme :
Avec comme solution :
.
Alors,
où c dépend des conditions initiales.
Exemple (non homogène) Soit le système
Nous avons donc
.
Comme auparavant, la somme de la solution homogène et de la solution particulière donne la solution générale. La solution homogène étant connue, il suffit de trouver la solution particulière.
expression qui peut être simplifiée pour obtenir la solution particulière cherchée.
Notes et références
Notes
Références
Voir aussi
Bibliographie
Articles connexes Application exponentielle Série de Neumann Logarithme d'une matrice
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