vignette|Exemple de théorème du disque de Gershgorin. Ce diagramme montre les disques en jaune dérivés pour les valeurs propres. Les deux premiers disques se chevauchent et leur union contient deux valeurs propres. Les troisième et quatrième disques sont disjoints et contiennent chacun une valeur propre. En analyse numérique, le théorème de Gerschgorin est un résultat permettant de borner a priori les valeurs propres d'une matrice carrée. Il a été publié en 1931 par le mathématicien biélorusse Semion Gerschgorin S. Gerschgorin, « Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix », Izv. Akad. Nauk. USSR Otd. Fiz.-Mat. Nauk 7, 1931, p. 749-754.Son nom peut être transcrit de diverses manières : Gershgorin, Geršgorin, Gerschgorin ou encore Guerchgorine.. Ce résultat est notamment utilisé dans le cas particulier des matrices stochastiques.
Énoncé
Soit A une matrice complexe de taille n×n, de terme général (aij). Pour chaque indice de ligne i entre 1 et n on introduit le disque de Gerschgorin correspondant
qui constitue effectivement un disque dans le plan complexe, de rayon Ri = Σj ≠ i | aij |.
En appliquant le théorème à la matrice transposée de A, une nouvelle information est donnée sur la localisation des valeurs propres : elles se trouvent dans la réunion des disques de Gerschgorin associés aux colonnes
Démonstration
Soient λ une valeur propre de A et X = (x1, ..., xn) un vecteur propre associé (noté comme vecteur colonne). Pour tout i compris entre 1 et n, on a
d'où
Choisissons un indice i pour lequel le module de xi est maximal. Puisque X est un vecteur propre, |xi| est non nul et il est alors possible de former le quotient
Une autre démonstration consiste à remarquer que 0 est valeur propre de et d'utiliser le lemme de Hadamard.
Notes et références Notes
Références
Voir aussi Articles connexes Ovale de Cassini Bibliographie
, errata Liens externes
Localisation des valeurs propres : les disques de Gerschgorin, quelques propriétés sur les disques de Gerschgorin.
Catégorie:Matrice Gerschgorin