En géométrie, l'inégalité triangulaire est le fait que, dans un triangle, la longueur d'un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Cette inégalité est relativement intuitive. Dans la vie ordinaire, comme dans la géométrie euclidienne, cela se traduit par le fait que la ligne droite est le plus court chemin : le plus court chemin d'un point A à un point B est d'y aller tout droit, sans passer par un troisième point C qui ne serait pas sur la ligne droite.
De façon plus abstraite, cette inégalité correspond au fait que la distance directe est une valeur minimale de distance. Elle est aussi une propriété ou condition nécessaire à la définition d'une bonne distance. Cette distance est un choix possible en métrique mathématique, mais pas forcément le meilleur, suivant les cas et les usages.
Énoncés
En géométrie L'inégalité triangulaire constitue la proposition 20 du livre I des Éléments d'Euclide, dans lequel elle est énoncée ainsi : ..
Dans un plan euclidien, soit un triangle ABC. Alors les longueurs AB, AC et BC vérifient les trois inégalités suivantes :
.
La conjonction de ces trois inégalités équivaut à la double inégalité : .
La première de ces dernières inégalités traduit que dans un triangle, la longueur d'un côté est supérieure à la différence des longueurs des deux autres.
Le cas d'égalité dans la deuxième inégalité s'écrit :
Dans le plan complexe
En utilisant la représentation complexe du plan euclidien, on note l'affixe de et l'affixe de . On obtient la formulation équivalente suivante,avec le cas d'égalité
Généralisation aux espaces préhilbertiens
Soit un espace préhilbertien réel. On note la norme associée au produit scalaire. Pour , en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité, on démontre alorsVoir par exemple l'inégalité de Minkowski :
( et positivement liés).
(Tout espace préhilbertien complexe est un espace préhilbertien réel, pour le produit scalaire , qui induit la même norme que le produit hermitien .)
Point de vue axiomatique
Soient un ensemble et . On dit que est une distance sur si :
La troisième propriété demandée à pour être une distance est de vérifier l'inégalité triangulaire. Jointe à la première, elle entraîne :
et plus généralement, pour toute partie non vide de , (voir « Distance d'un point à une partie »).
Réciproquement, .
Tout espace vectoriel normé — en particulier — est naturellement muni d'une distance , définie par , pour laquelle la majoration se réécrit : .
Inégalité triangulaire généralisée On peut itérer l'inégalité triangulaire pour un nombre fini d'éléments.
En géométrie, cela donne : , cas d'égalité pour alignés dans cet ordre.
Pour les complexes, cela donne : , cas d'égalité si : est un réel strictement positif pour .
Pour un espace vectoriel normé : .
Cas d'égalité dans le cas préhilbertien : les positivement liés deux à deux.
Inégalité triangulaire pour les intégrales Si est une fonction intégrable au sens de Riemann (en particulier si elle est continue par morceaux) sur un intervalle , à valeurs dans un espace vectoriel normé, alors :
Cas d'égalité si est continue à valeurs complexes : il existe une constante de module 1 telle que sur .
Dans le cas réel, cela équivaut à ce que soit de signe constant sur .
Note
Voir aussi
Groupe totalement ordonné Inégalité de Ptolémée, qui en constitue une application non triviale
Catégorie:Distance et longueur Triangulaire Catégorie:Géométrie du triangle Catégorie:Espace vectoriel normé