En théorie des nombres, la conjecture d'Elliott-Halberstam concerne la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Elle a beaucoup d'applications en théorie des cribles. Elle a été énoncée par Peter D. T. A. Elliott et Heini Halberstam en 1968.
Notations Énoncer la conjecture nécessite quelques notations. On désigne usuellement par le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à . Si est un entier strictement positif et est premier avec , notons le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à qui sont congrus à modulo . D'après le théorème de la progression arithmétique, lorsque est premier avec , on a :
On définit alors la fonction d'erreur
où le max est pris sur tous les premiers avec .
Énoncé La conjecture d'Elliott-Halberstam est l'assertion que pour tout 0 < θ < 1 et tout A > 0, il existe une constante C , telle que pour tout ≥ 2 :
La conjecture d'Elliott Haltberstam pour une valeur de θ est notée EH [ θ ]Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes, Abstract..
Avancées Pour le cas limite θ = 1, on sait que cette assertion EH [ 1 ] est fausse.
Pour les θ < , la conjecture EH [ θ ] a été démontrée dans les années 1960 par Enrico Bombieri et Askold Ivanovitch Vinogradov : c'est le théorème de Bombieri-Vinogradov ; ce résultat est déjà tout à fait utile, étant une forme moyennée de l'hypothèse de Riemann généralisée.
Conséquences de la conjecture
La conjecture d'Elliott-Halberstam aurait, si elle était démontrée pour θ < 1, plusieurs conséquences frappantes. L'une d'elles est le résultat de Daniel Goldston, János Pintz et Cem Yıldırım D. A. Goldston, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Primes in Tuples I, août 2005. D. A. Goldston, Y. Motohashi, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Small gaps between primes exist, Proceedings of the Japan Academy Series A 82 (2006), 61-65. Version de mai 2005 disponible sur D. A. Goldston, S. W. Graham, J. Pintz et C. Y. Yıldırım, Small gaps between primes or almost primes, juin 2005. , qui montre qu'il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 16. Maynard a montré en que sous la même hypothèse, il existerait alors une infinité de paires de nombres premiers qui diffèrent d'au plus 12. En 2014, le projet Polymath a montré qu'en supposant une version généralisée de EH [ θ ], pour 0 < θ < 1, l'écart pourrait être ramené à 6.
Notes et références Notes
Références
A. I. Vinogradov, « The density hypothesis for Dirichlet L-series », Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 29, 1965, p. 903-934
Voir aussi Conjecture des nombres premiers jumeaux
Théorème de Barban-Montgomery
Catégorie:Théorie analytique des nombres Elliott-Halberstam