vignette|Avec un dé, on peut obtenir chaque nombre entre 1 et 6 avec probabilité 1/6. Ainsi, l'espérance vaut .
En théorie des probabilités, l'espérance (ou premier moment) d'une variable aléatoire réelle est la moyenne des valeurs qu'elle peut prendre, pondérée par la probabilité de prendre chaque valeur. Formellement, il s'agit de l'intégrale de la variable aléatoire par rapport à la mesure de probabilité de l'espace probabilisé sur lequel elle est définie. Toutefois, l'espérance n'est pas toujours définie : il existe des variables aléatoires qui n'admettent pas d'espéranceEn particulier, les variables aléatoires ayant une distribution à longue traîne, comme la distribution de Cauchy, sont d'espérance infinie.. L'espérance de la variable aléatoire est généralement notée Le peut aussi être typographié ou et les crochets remplacés par des parenthèses ou omis..
Intuitivement, l'espérance est la moyenne asymptotique des valeurs obtenues lorsque l'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire, de manière indépendante. Ceci est une conséquence de la loi forte des grands nombres : lorsqu'elle existe, l'espérance est la limite presque sûre de la moyenne des résultats au cours de plusieurs expériences, quand leur nombre augmente à l'infini.
L'espérance est un indicateur de tendance centrale d'une loi de probabilité. Toutefois, elle ne correspond pas forcément à une valeur que la variable aléatoire peut prendre. Avec la variance (qui est un indicateur de dispersion), l'espérance est l'une des principales caractéristiques de la loi d'une variable aléatoire.
La notion d'espérance est popularisée par Christian Huygens dans son ouvrage (« Du calcul dans les jeux de hasard »). de 1657 sous le nom de . De nos jours, elle joue un rôle important dans un grand nombre de domaines, comme la théorie des jeux, la théorie de la décision, la théorie de l'information ou encore la statistique inférentielle.
Éléments historiques
vignette|Blaise Pascal, ayant posé (avec Fermat) les bases du calcul des probabilités, et ayant contribué à la formalisation mathématique des raisonnements liés à l’incertitude à partir de l’étude des jeux de hasard.
La définition et l'étude de l'espérance mathématique sont liées à celles des probabilités. Dès la Grèce antique, philosophes et mathématiciens cherchent à comprendre le comportement de certains évènements apparemment imprévisibles, comme ceux relatifs aux jeux de hasard basés sur des lancers de dés ou de pièces. La formalisation des raisonnements et des concepts correspondants connait des avancées importantes à partir du 17ème siècle, notamment grâce à Blaise Pascal et son étude du «problème des partis» publiée en 1654, puis à Christian Huygens qui publie en 1657 un petit opuscule en latin intitulé «Du calcul dans les jeux de hasard». Ce traité est considéré comme le premier livre sur le calcul des probabilités dans les jeux de hasard et une des fondations de la théorie des probabilités. Huygens y reprend et approfondit l'étude du problème des partis et étudie d'autres situations de jeu. Il y établit que si dans un jeu, on a chances de gagner la somme pour chances de gagner la somme , il faut miser pour que le jeu soit équitable. Il considère que cette mise est aussi le juste prix auquel un joueur devrait céder sa place à une personne désirant le remplacer pour la suite d'une partie en cours : il formalise ainsi la notion d'espérance, qu'il nomme la .
La formalisation mathématique de la théorie des probabilités se poursuit ensuite avec la publication en 1713 des travaux de Jacques Bernoulli définissant la loi des grands nombresCes travaux ont été publiés en 1713, soit huit ans après la mort de leur auteur., loi complétée et élargie au 20ème siècle en utilisant la théorie de la mesure et celle de l'intégration : l'espérance, lorsqu'elle existe, est notamment la limite presque certaine de la valeur moyenne empirique obtenue en répétant un très grand nombre de fois une expérience sur une variable aléatoire.
Espérance, moyenne et loi des grands nombres (approche intuitive) vignette|redresse=1.2|Illustration de la convergence vers 3,5 de la suite des moyennes obtenues pour des lancers de dés quand le nombre de lancers augmente.
L'espérance est fortement liée à l'idée de moyenne. En effet, la notion de hasard empêche de prédire le résultat d'une seule expérience aléatoire mais la loi des grands nombres permet d'évaluer le résultat moyen qui serait obtenu si on exécutait un grand nombre d'expériences aléatoires de même type.
Ainsi, au cours d'un seul lancer de dé, chaque face a normalement une chance sur 6 d'apparaître et il est difficile de prédire le résultat moyen sur quelques lancers de dé. Mais, en renouvelant un très grand nombre de fois le lancer, les résultats se répartissent presque équitablement entre les différents nombres de 1 à 6. La moyenne des nombres obtenus au cours de ces nombreux lancers s'approche alors de
qui correspond à l'espérance de cette expérience de lancer de dé.
L'exemple du lancer de dé montre que la valeur de l'espérance (ici : 3,5) peut ne pas être une valeur que l'on peut effectivement trouver durant une expérience donnée (ici : un lancer, qui ne peut prendre que des valeurs entières entre 1 et 6).
L'espérance sert par exemple, en théorie des jeux, à prévoir la somme moyenne que chaque joueur va remporterEn théorie des jeux, un jeu sera dit équitable si l'espérance de gain des joueurs est nulle, défavorable si elle est négative, et favorable si elle est positive.. Elle sert aussi dans le domaine des assurances pour déterminer le coût moyen d'une assurance permettant de couvrir les frais consécutifs aux accidents.
L'espérance et la loi des grands nombres permettent aussi d'invalider une loi de probabilité. On raconte qu'Henri Poincaré s'en serait servi, avec d'autres indices, pour mettre en évidence la malhonnêteté de son boulanger.. En effet, le poids d'un pain est soumis à des fluctuations aléatoires mais son espérance est fixée par la loi. Le poids d'un pain annoncé à , par exemple, peut fluctuer autour de cette valeur. Poincaré aurait pesé sur une grande période le pain acheté chez son boulanger et aurait trouvé que son poids moyen était largement inférieur à . Cette moyenne était trop loin de l'espérance et indiquait une malversation du commerçant.
Définition formelle L'espérance d'une variable aléatoire réelle est définie, si elle existe, de façon mathématiquement précise par rapport à un espace probabilisé, généralement noté , où est l'univers des possibles, la tribu (l'ensemble) des évènements possibles et une loi de probabilité telle que =1.
Selon la nature de , la définition et la preuve d'existence de l'espérance sont plus ou moins simples, et explicitées ci-dessous.
Variable discrète prenant un nombre fini de valeurs Si la variable prend les valeurs avec les probabilités , l'espérance de est définie comme :
Comme la somme des probabilités est égale à , l'espérance peut être considérée comme la moyenne des pondérée par les
Exemple : Le jeu de la roulette française consiste à lancer une petite bille sur une roulette contenant cases. Un joueur mise une certaine somme sur une des cases. Si la bille s'arrête dans sa case, on lui rembourse fois sa mise (son gain est alors de , sinon il perd sa mise (son gain est alors de ). Pour reprendre la définition générale donnée en introduction de ce chapitre, un évènement élémentaire de est constitué d'un jet de bille et de la lecture du numéro de la case sur laquelle la bille s'est immobilisée. est donc constitué de 37 évènements élémentaires : 1, 2, 3,..., 36, 37. Si le jeu n'est pas truqué, la probabilité d'obtenir n'importe lequel de ces évènements à l'issue d'un jet est la même (), et comme et que , on a : . L'espérance de gain d'un joueur est donc de : Ce résultat signifie qu'en moyenne, le joueur perd 2,7 % de sa mise à chaque jeu et inversement que le casino gagne en moyenne 2,7 % de la mise de chaque joueur. Le nombre de joueurs dans un casino est suffisamment important pour que cette espérance corresponde effectivement au gain moyen par joueur pour le casino. Ce jeu est donc défavorable aux joueurs, et favorable au casino.
Variable discrète prenant un ensemble dénombrable de valeurs Si la variable prend une infinité dénombrable de valeurs avec les probabilités l'espérance de est définie comme à condition que cette somme soit absolument convergente, c'est-à-dire que .
Cette condition est très importante pour assurer l'existence et également l'unicité de l'espérance de la variable aléatoire considérée. Ainsi, par exemple, la série qui prendrait les valeurs avec les probabilités , où est choisi de telle sorte que la somme des probabilités donne , donnerait pour somme infinieVoir l'article "Problème de Bâle" :
Cette somme infinie vaut Car la série harmonique alternée (1-1/2+1/3-1/4…) converge vers ln(2). Voir l'article série harmonique.. Cependant il serait incorrect d'en conclure que l'espérance de est égale à ce nombre : en fait, l'espérance de n'existe pas car la série n'est pas absolument convergente. L'hypothèse d'absolue convergence est nécessaire puisque la somme précédente dépend de l'ordre de sommation des différents termes. Le Théorème de réarrangement de Riemann assure même que l'on peut obtenir n'importe quelle valeur réelle en le faisant varier.
Variable continue à densité Si la variable aléatoire continue réelle admet une densité de probabilité , son espérance est définie comme : à condition que l'intégrale soit absolument convergente, c'est-à-dire que : .
Définition générale Une définition générale permet de retrouver toutes les définitions précédentes. Cette définition est basée sur la théorie de la mesure et l'intégrale de Lebesgue. Soit une variable aléatoire de l'espace probabilisé vers . Si est intégrable selon la mesure de probabilité , l'espérance de est définie par. :
D'après le théorème de transfert, elle est alors égale à
Il s’agit donc du centre de masse, ou en encore du moment d'ordre , du support de muni de la mesure de probabilité associée.
upright=1.07|frameless|right|border|Espérance µ et médiane 𝑚. L'espérance de la variable aléatoire peut également être en référence au graphe de sa fonction de répartition par une égalité d'aires. En effet, avec un nombre réel si et seulement si les deux surfaces dans le plan - décrites par ou respectivement, ont la même aire finie, c'est-à-dire si
et les deux intégrales de Riemann impropres convergent. Enfin, cela est équivalent à la représentation
également avec des intégrales convergentes, p. 2–4..
Exemple : La quantité quotidienne de précipitation à un endroit (unité : ) sera modélisée simplement comme une variable aléatoire réelle telle que
avec deux constantes positives et La fonction de répartition de s'obtient ainsi en
Leur seul point de discontinuité est avec hauteur de saut Donc, la variable aléatoire n'est pas discrète et ne possède non plus une densité. La dernière représentation de comme différence de deux intégrales de Riemann impropres conduit à
En particulier, les valeurs approximatives et résultent en l'espérance .
Espérance d'une fonction d'une variable aléatoire
étant une variable aléatoire à valeur dans un espace mesurable , une fonction mesurable de dans définit une nouvelle variable aléatoire réelle notée , dont l'espérance, lorsqu'elle existe, s'écrit en remplaçant par dans les formules précédentes (théorème de transfert)..
Son espérance est définie par :
D'après le théorème de transfert, elle est alors égale à
Si est une variable aléatoire absolument continue, de densité de probabilité par rapport à une mesure -finie sur , alors :
Si est une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble dénombrable , alors :
C'est notamment le cas quand est fini. En notant ses valeurs et les probabilités correspondantes, l'espérance devient :