vignette|Différents modes de désintégration radioactive : radioactivités α, β et β, capture électronique ε, émission de neutron n et émission de proton p.
La décroissance radioactive est la réduction du nombre de noyaux d'un isotope instable par radioactivité dans un échantillon. La décroissance radioactive se produit jusqu'à ce que tous les noyaux radioactifs de l'échantillon deviennent stables.
Enjeux La décroissance radioactive est un paramètre très important pour le secteur de la gestion des déchets nucléaires, la radioprotection et la modélisation et prévision des effets radiotoxicologique ou radioécologiques de l'exposition à une pollution radioactive. Dans certains cas, il faut également tenir compte de phénomènes complexes tels que l'absorption, l'accumulation et éventuellement la bioaccumulation ou bioamplification…
Loi de désintégration radioactive Un noyau radioactif quelconque a autant de chances de se désintégrer à un moment donné qu'un autre radionucléide de la même espèce, et la désintégration ne dépend pas des conditions physico-chimiques dans lesquelles le nucléide se trouve. En d'autres termes, la désintégration est régie par le hasard, et la loi de désintégration radioactive est une loi statistique.
NB : dans le détail, des mesures continues semblent montrer des variations de la décroissance radioactive en fonction du taux d'exposition aux neutrinos, taux qui varie légèrement avec la position de la Terre par rapport au Soleil Peter Andrew Sturrock, « Strange case of solar flares and radioactive elements », Stanford University, ScienceDaily, 25 août 2010..
Si l'on observe un échantillon de matériaux radioactifs pendant un intervalle de temps donné, la proportion de noyaux qui subissent une désintégration radioactive sera sensiblement constante, à cause de la loi des grands nombres.
On montre mathématiquement que cela implique que le nombre N de noyaux diminue avec le temps t suivant une décroissance exponentielle : . Cela se démontre de la manière suivante :
Soit le nombre de noyaux radioactifs d'un isotope donné présents dans un échantillon à un instant quelconque. Comme la probabilité de désintégration d'un de ces noyaux ne dépend ni de la présence d'autres radioisotopes ni du milieu environnant, le nombre total de désintégrations pendant un petit intervalle de temps ( diminue au cours du temps : est la variation de (), le nombre de noyaux disparus est ) est proportionnel au nombre de noyaux présents à l'instant et à la durée de cet intervalle :
où la constante de proportionnalité , appelée constante de désintégration (ou constante radioactive) du radioisotope considéré, possède la dimension de l'inverse d'un temps ; la constante est positive.
En intégrant l'équation différentielle précédente, on trouve le nombre de noyaux radioactifs présents dans le corps à un instant quelconque, sachant qu'à un instant donné il y en avait ; c'est une loi de décroissance exponentielle :
où : est le nombre initial de noyaux non-désintégrés ; est la constante de désintégration du radioisotope.
Cette loi de décroissance ne concerne que la radioactivité issue du radionucléide initial, mais les radionucléides qui résultent de la désintégration radioactive d'un radionucléide initial peuvent eux-mêmes être radioactifs et induire leur propre radioactivité. Dans ce cas, leur radioactivité s'ajoute progressivement à celle du radionucléide initial. L'activité du mélange ainsi créé entre le radionucléide initiale et son (ou ses) descendant(s) est discutée dans la section « Filiation de deux isotopes dépendants » ci-dessous.
Période radioactive
La période radioactive, ou demi-vie, d'un isotope radioactif est la durée au bout de laquelle le nombre de noyaux de cet isotope présents dans l'échantillon est réduit de moitié. On la note généralement ou .
Si l'on observe un échantillon de matière radioactive, au bout d'un temps , cet échantillon aura (par définition) perdu la moitié de sa matière, et il ne restera plus que la moitié de la matière initiale. Mais au bout de deux fois ce temps, la perte de matière supplémentaire ne porte plus que sur la moitié restante et non sur le total initial ; au bout de deux fois il restera donc la moitié de la moitié de la matière initiale, c'est-à-dire le quart. De même, au bout de trois fois il ne restera plus que (1/2) = 1/8 de l'échantillon initial, et ainsi de suite. Au bout de dix fois cette demi-vie, l'activité aura été réduite d'un facteur 2 = , donc sensiblement divisée par mille. est la durée au bout de laquelle le nombre de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon est réduit de moitié, mais la « vie » de l'échantillon est beaucoup plus grande que sa « demi-vie » : il reste toujours un peu de substance radioactive, même après un grand nombre de « demi-vies ».
La loi de décroissance d'un échantillon radioactif peut se caractériser mathématiquement de la manière suivante : Si représente le nombre de noyaux radioactifs à un instant , alors :
Or, on a également par définition de la fonction :
On en déduit donc immédiatement :
ou encore :
où est le nombre de noyaux initiaux, et est la constante radioactive correspondant au type de noyaux.
Survie moyenne La demi-vie est distincte de la vie moyenne . Celle-ci s'obtient par le raisonnement suivant : la quantité de noyaux qui se désintègrent à l'instant a « vécu » pendant cette durée ou, plus exactement, à l'instant il reste noyaux présents. De ceux-ci, pendant une durée , il s'en détruit : .
Ces ont donc une durée de vie comprise entre et . On peut donc définir la durée moyenne de vie pour l'ensemble des radionucléides de l'échantillon (ou simplement vie moyenne) par : .
En tenant compte de l'expression de dN donnée ci-dessus, on obtient doncEn effet, intégrons par parties en posant , , , :
puisque .
D'où le résultat annoncé : . . Dans la littérature scientifique, on désigne généralement la durée de vie radioactive moyenne par la lettre grecque , donc . Cette durée de vie ne dépend pas de la taille de l'échantillon ; c'est un temps caractéristique du radionucléide considéré, tout comme sa période . Au bout de ce temps caractéristique , l'activité est réduite à la fraction de sa valeur initiale : . Cette « durée de vie » est en réalité le temps moyen de survie d'un atome de l'échantillon à partir du début de l'observation. Dans le cas d'un radionucléide naturel, sa vie antérieure a pu être beaucoup plus importante, se comptant parfois en millions d'années, voire plus. Un exemple emblématique est celui du Plutonium 244, d'une demi-vie de (Ma), dont on trouve dans le sol terrestre des traces d'atomes formés par des processus r d'explosions stellaires primitives longtemps avant la Formation et évolution du Système solaire, donc il y a plus de d'années (Ga). Ces atomes avaient initialement une survie moyenne de l'ordre de 80,8 / Ln(2)= 80,8 x , soit ; mais ceux que l'on détecte aujourd'hui ont eu une survie au moins cinquante fois plus grande. Ils ont survécu par chance ; et en moyenne leur potentiel de survie compté à partir d'aujourd'hui est de , comme au premier jour.
Activité moyenne Activité d'un élément L'activité est le nombre de désintégrations par seconde d'un échantillon composé de noyaux radioactifs. L'activité moyenne, notée est exprimée en becquerels (Bq), qui représente le taux de désintégration des noyaux (nombre de désintégrations par seconde).
L'activité d'un radioisotope se relie mathématiquement à sa demi-vie, de la manière suivante :
On note :
où : est le nombre de noyaux qui se sont désintégrés durant une période la variation du nombre de noyaux non désintégrés, qui sera fatalement négative pour une durée positive (car les noyaux se désintègrent et donc leur nombre diminue).
En différenciant, on a immédiatement :
En remplaçant la constance radioactive par sa valeur exprimée en demi-vie, on voit que l'activité est inversement proportionnelle à la demi-vie de l'élément :
Le becquerel est une unité très petite. Quand un élément radioactif est présent en quantités métriques, le nombre d'atomes impliqués est de l'ordre du nombre d'Avogadro, soit . Pour un élément dont la demi-vie est d'un million d'années, soit , une mole de matière radioactive aura une activité de l'ordre de .
Ce nombre (plusieurs milliards de becquerels) paraît élevé, mais est relativement peu significatif en termes de radioprotection : même pour des activités de l'ordre du millier de becquerel, les quantités usuellement rencontrées sont des fractions infinitésimales de moles ; de leur côté, les ordres de grandeurs typique en radiotoxicité sont exprimées en ; il faut des millions de becquerels pour conduire à un résultat non négligeable en termes de radioprotection.
Activité d'un mélange dans le temps D'une manière générale, un isotope radioactif présente une activité massique d'autant plus grande que sa demi-vie est brève. Les radioactivités fortes disparaissent donc rapidement, à échelle géologique. Les matières très radioactives ne le sont que pendant un temps relativement faible, et la radioactivité de vie longue (à échelle géologique) ne peut atteindre que des niveaux de radioactivité relativement faibles.
Dans le cas d'un mélange comme les produits de fission, au bout d'un certain temps de refroidissement, la radioactivité est dominée par les radioisotopes dont la demi-vie est de l'ordre de grandeur de ce temps de refroidissement : les radioisotopes dont la demi-vie est significativement plus courte se sont désintégrés plus rapidement, et leur niveau de radioactivité résiduel est négligeable ; et ceux dont la demi-vie est significativement plus longue sont moins radioactifs, et leur niveau de radioactivité est noyé par celui des éléments plus actifs.
Ainsi, dans le cas des produits de fission qui forment la majeure partie des déchets HAVL : au bout d'une trentaine d'années, la radioactivité dominante est celle du césium 137 (30 ans) et du strontium 90 (), qui ont une activité massique de l'ordre de 3,3 et 5,2 TBq/g respectivement. Comme ces deux éléments représentent de l'ordre de 10 % des produits de fission, les produits de fission ont alors une activité massique globale de l'ordre de quelques centaines de GBq/g ; au bout de quelque dix mille ans, la radioactivité dominante est celle du technétium 99 (211 000 ans), qui représente de l'ordre de 5 % des produits de fissions. Son activité massique étant de , l'activité massique des produits de fissions est alors de l'ordre de ; comme aucun produit de fission n'a de durée de vie comprise entre cent et dix mille ans, l'activité du Technétium est celle des produits de fission pendant tout cet intervalle de temps.
Filiation de deux isotopes dépendants Cas général Soit l'isotope 1 qui se transforme en isotope 2 selon une constante radioactive . L'isotope 2 décroît selon la constante radioactive .
La décroissance de l'isotope 1 n'est pas influencée par l'isotope 2. Par contre, la quantité d'isotope 2 au temps t dépend de la quantité d'isotope 1 à l'origine et des deux constantes radioactives et .
On a donc : et
Ainsi, pour atteindre un éventuel équilibre entre les activités des deux isotopes, il faut une durée :
Période de l'isotope 1 inférieure à la période de l'isotope 2
Quand , alors
Au bout d'une durée équivalente à au moins 10 fois la période de l'isotope 1, la décroissance de l'isotope 2 ne dépend plus de l'isotope 1.
Période de l'isotope 1 supérieure à la période de l'isotope 2
Au bout d'un certain temps, un équilibre de régime est obtenu, tel que :
Période de l'isotope 1 très supérieure à la période de l'isotope 2 Un équilibre séculaire est observé au bout d'environ 10 fois la période de l'isotope 2.
Les activités des deux isotopes sont alors équivalentes et décroissent selon la constante radioactive de l'isotope 1.
Exemple : décroissance du plutonium 240