En mathématiques, les polynômes de Jacobi sont une classe de polynômes orthogonaux. Ils sont obtenus à partir des séries hypergéométriques dans les cas où la série est en fait finie :

où est le symbole de Pochhammer pour la factorielle croissante, (Abramowitz & Stegun p561.) et ainsi, on a l'expression explicite

pour laquelle la valeur finale est

Ici, pour l'entier

et est la fonction gamma usuelle, qui possède la propriété pour . Ainsi,

Propriétés Les polynômes ont la relation de symétrie ; ainsi, l'autre valeur finale est

Pour un nombre réel , le polynôme de Jacobi peut aussi être écrit sous la forme

où et .

Dans le cas particulier où les quatre quantités , , et sont des nombres entiers positifs, le polynôme de Jacobi peut être écrit sous la forme

La somme sur s'étend sur toutes les valeurs entières pour lesquelles les arguments des factorielles sont positives.

Cette forme permet l'expression de la matrice D de Wigner () en termes de polynômes de Jacobi

Orthogonalité Les polynômes de Jacobi vérifient la condition d'orthogonalité

Les polynômes de Jacobi ne sont pas orthonormés par rapport à la fonction poids d'orthogonalité. Cela peut être corrigé en divisant la racine carrée du facteur dans le membre à droite de l'égalité, pour .

Malgré cela, on peut aussi normaliser de façon alternative est parfois préférée pour sa simplicité :

Dérivées

La -ème dérivée de l'expression explicite conduit à

Relations de récurrence Pour , donnés fixes, on a une relation de récurrence d'ordre 3 pour les polynômes de Jacobi:

pour . En notant , et , l'égalité se réécrit en termes de

Puisque les polynômes de Jacobi peuvent être décrits avec la fonction hypergéométrique, on déduit les récurrences sur les polynômes de Jacobi à partir de celles de la fonction hypergéométrique. En particulier, les relations contigues de Gauss correspondent aux identités

Fonction génératrice Le fonction génératrice des polynômes de Jacobi est :

où

et la Branche principale de la racine carrée est choisie de sorte que ..

Références

Articles connexes Polynôme de Gegenbauer Inégalité d'Askey-Gasper

Liens externes

Jacobi Polynome de Jacobi