En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le problème des contacts, appelé également problème d'Apollonius ou problème des trois cercles, est un des grands problèmes de l'Antiquité grecque. Il s'agit de trouver un cercle tangent à trois cercles donnés de rayons différents.
Ce problème a été présenté par Pappus comme étant le dixième et le plus difficile du Traité des contacts, un des ouvrages perdus d'Apollonius. En effet, il faudra attendre 1600 pour sa résolution par François Viète qui montrera qu'il admet au maximum huit solutions. Pour cela dans l'Apollonius Gallus, il va résoudre les dix problèmes présentés ci-dessous (sans traiter les cas particuliers).
Description Le Traité des contacts, ouvrage perdu d'Apollonius, se proposait de déterminer des cercles astreints à trois conditions prises parmi celles qui consistent à passer par un point donné, ou à être tangent à une droite ou un cercle donné, ce qui correspond à dix problèmes désignés par les symboles PPP, DDD, PPD, PPC... en représentant un point par P, une droite par D et un cercle par C.
Cercle passant par trois points donnés (PPP): dans le cas où les trois points ne sont pas alignés, la solution est le cercle circonscrit au triangle formé par les trois points. Son centre est le point d'intersection des médiatrices du triangle; Cercle tangent à trois droites données (DDD) : dans le cas où les droites forment un triangle, les solutions sont les 4 cercles inscrit et exinscrits du triangle. Pour deux droites strictement parallèles et une sécante, le nombre de solutions se réduit à 2. Il est de 0 pour trois droites strictement parallèles; Cercle passant par deux points donnés et tangent à une droite donnée (PPD); Cercle passant par deux points donnés et tangent à un cercle donné (PPC); Cercle passant par un point donné et tangent à deux droites données (PDD); Cercle passant par un point donné et tangent à deux cercles donnés (PCC); Cercle passant par un point donné et tangent à une droite et un cercle donnés (PDC); Cercle tangent à deux droites et un cercle donnés (DDC); Cercle tangent à une droite et deux cercles donnés (DCC); Cercle tangent à trois cercles donnés (CCC): c'est souvent ce dernier problème seul, le plus difficile, qui est appelé «problème d'Apollonius» ou «problème des trois cercles».
Histoire Ce traité est mentionné au par Pappus d'Alexandrie, dans le livre VII de sa Collection Mathématique qui n'en donne qu'une résolution partielle, p LXVI-LXXII, plus précisément p. LXX de l'introduction.
Le problème est étudié par les mathématiciens de l'islam médiéval, Ibn al-Haytham et Ibrahim ibn Sinan qui le traitent jusqu'au bout, sans toutefois faire une étude exhaustive de tous les cas (sur la taille des cercles ou leur alignement). Mais ces études ne sont pas connues en Europe au .
Au , les mathématiciens européens s'intéressent également à sa résolution sans pour autant parvenir à fournir une solution euclidienne (i.e. constructible à la règle et au compas). Pour Regiomontanus, par exemple, une solution au dernier problème (celui des 3 cercles) ne peut pas se faire sans utiliser des coniques..
Lors d'une querelle scientifique concernant l'existence ou non de mathématiciens français de qualité à la fin du , François Viète prouve d'abord qu'il est capable de résoudre une équation complexe qu'Adrien Romain avait adressé à un ensemble de mathématiciens d'Europe. Puis, en guise de réciprocité, demande à Adrien Romain de lui donner une solution pour le dernier problème d'Apollonius, tâche dont s'acquitte Adrien Romain par intersections d'hyperboles. En effet, la condition pour que deux cercles de centres C et C et de centre et soient tangents est que . Pour que le cercle de centre C soit tangent à deux cercles, il faut deux égalités de ce genre. Par soustraction et élimination des cas ne donnant rien, la condition pour que le cercle de centre C soit tangent aux cercles de centres C et C s'écrit sous la forme qui fait référence à la définition bifocale d'une hyperbole.
François Viète, non satisfait de voir une solution non constructible à la règle et au compas, publie alors son Apollonius gallius (L'Apollonius français) pour démontrer qu'un Français vaut autant qu'un Belge ou un Romain. Il y propose une résolution complète des 10 problèmes mais sans discussion d'existence ni analyse de toutes les configurations.
La résolution par Viète n'arrête pas les recherches. René Descartes en 1643, dans sa correspondance avec Élisabeth de Bohême propose une résolution algébrique, avant de donner son théorème de Descartes dans le cas où les trois cercles sont tangents. C'est aussi la voie algébrique et trigonométrique qu'emprunte Leonhard Euler dans son de 1790.
Le développement des outils géométriques avec la notion d'axe radical, de pôle et polaire, d'inversion et la définition explicite de la puissance d'un point par rapport à un cercle par Jakob Steiner conduit Gergonne, au début du , à une résolution très concise: Il existe 6 centres d'homothéties transformant un des cercles en un autre, la résolution proposée par Gergonne consiste, à partir des 6 centres d'homothétie, de prendre leur polaire par rapport au deux cercles concernés, ce qui donne 12 polaires, ces 12 polaires dessinent des parallélogrammes dont on prend les diagonales. Les 12 diagonales obtenues portent tous les points de tangence des cercles-solutions au problème. On peut alléger la construction, comme le propose Hadamard dans ses leçons de géométrie, en remarquant que les 6 centres d'homothétie sont alignés trois par trois sur 4 droites. Pour chaque droite, on construit les 3 pôles de la droite par rapport aux 3 cercles. Par chaque pôle, on mène une droite passant par le centre radical des trois cercles, les points d'intersection (s'ils existent) de cette droite avec le cercle associé au pôle sont les points de tangence de la paire de cercles-solutions avec le cercle concerné..
L'objectif, à la fin du , est de proposer des méthodes qui peuvent aussi intégrer les cas particuliers et de classifier les configurations selon leur nombre de solutions. Cet effort de classification se poursuit au cours des .
Ce problème, qui semble désormais n'être étudié qu'à des fins pédagogiques, recèle parfois des développements surprenants comme le repérage des canons ennemis lors de la guerre de 14-18. et donne lieu a des prolongements comme le fractal baderne d'Apollonius.
Principes de construction en géométrie classique Outils Cette section décrit les constructions classiques à la règle et au compas des points de contacts ou des centres cherchés, en utilisant des configurations faisant intervenir les propriétés du cercle, l'homothétie, et la puissance d'un point par rapport à un cercle. Elle commence par rappeler les constructions de tangentes (qu'on peut voir comme des cas particuliers des problèmes de contacts, en considérant les droites comme des cercles de rayon infini). Tangentes à un cercle Tangente en un point du cercle D'un point A situé sur un cercle de centre O on peut mener une tangente à ce cercle en traçant la perpendiculaire en A au rayon [OA]. Le schéma montre une méthode : à partir du point B symétrique de O par rapport à A, on construit la médiatrice de [BO], qui est bien tangente au cercle.
Tangentes à un cercle passant par un point donné D'un point M extérieur à un cercle, on peut mener deux tangentes à ce cercle ; elles touchent le cercle en A et B et on a MA = MB. La droite (OM) est un axe de symétrie de la figure, c'est la bissectrice de l'angle AMB. .
Puissance d'un point par rapport à un cercle Le principe sous-jacent consiste à observer que si M est un point d'une tangente en un point T à un cercle, alors pour toute sécante au cercle en A et B passant par M, on a MA⋅MB = MT Cercle passant par deux points donnés et tangent à une droite donnée Soient M et M deux points donnés et (d) la droite, il s'agit de trouver le point de tangence T du cercle à trouver avec la droite (d). Dans cet exemple, on choisit M et M dans le même demi-plan et avec (M M) coupant (d) en I Si les points sont de part et d'autre de (d), il n'y a pas de solution et le cas où (M M) est parallèle à (d) n'offre qu'un seul point T solution : intersection de la médiatrice de [M M] avec (d). .
On sait que IT doit valoir IM⋅IM. La longueur IT, se calcule alors à l'aide d'un triangle IMH rectangle H dont M est le pied de la hauteur issue de H. On sait, en effet, par la propriété du triangle rectangle, que IH=IM⋅IM. Il suffit de reporter cette distance IH sur la droite (d) pour trouver un point T solution. On remarque qu'il existe en réalité un autre point T' à la bonne distance de I symétrique du point T par rapport à I qui fournit la seconde solution au problème.
Il existe d'autres constructions possibles comme de travailler sur des propriétés de l'angle inscrit ou bien en travaillant par ajustement : en supposant que la médiatrice de [M M] rencontre la droite en J, on construit un cercle dont le centre est sur la médiatrice et qui est tangent à (d), une homothétie de centre J va permettre d'agrandir ou réduire le cercle pour qu'il passe par M et M (2 solutions en général).
Cercle passant par deux points donnés et tangent à un cercle donné
Soient M et M deux points donnés et (c) le cercle, il s'agit de trouver le point de tangence T du cercle-solution avec le cercle . Dans cet exemple, on choisit des points extérieurs au cercle et non symétriques par rapport à un rayon du cercle (c).
Le but consiste à chercher d'abord un point I qui ait même puissance par rapport aux deux cercles. On construit un cercle auxiliaire passant par M et M et rencontrant le cercle (c) en P et P'. Les droites (PP') et (M M) se rencontrent en I. Les tangentes issues de I fournissent les points-solutions T. En effet: .
Cercle tangent à deux cercles donnés passant par un point donné L'idée est de remplacer la contrainte sur un cercle par une contrainte sur un point. Pour cela on étudie les propriétés d'un cercle tangent à deux cercles.
On donne deux cercles (c), (c) de centres O, O, de rayons différents r et r et un cercle (c) tangent à ces deux cercles.
thumb|300px|Propriétés des cercles (c) tangents aux cercles (c) et (c) - cas des cercles tangents extérieurement.
Il existe deux homothéties H(S, r/r) et H(S', -r/r) transformant (c) en (c).
Les points S et S' centres d'homothéties des cercles sont les points qui partagent le segment [OO] dans les rapports ± r/r.
Si un cercle (c) est tangent aux cercles (c) et (c) en T et T', la droite (TT') qui joint les points de contact passe par un centre d'homothétie. En effet, il existe une homothétie de centre T transformant (c) en (c) et une homothétie de centre T' transformant (c) en (c), qui, composées, donne une des homothéties précédentes. Les centres de ces trois homothéties sont donc alignés. La puissance p du centre d'homothétie par rapport au cercle (c) variable est constante.
On obtient la puissance du point S par rapport au cercle (c1) multiplié par le rapport des rayons.
Si U et U' sont les points d'intersection de (c1) et (c2) avec la ligne des centres, la puissance du point S par rapport au cercle de diamètre [UU'] est p = SU × SU'.
Si maintenant on cherche un cercle passant par un point M et tangent aux deux cercles, on va construire un point M que l'on saura appartenir au bon cercle. On le cherche comme le point d'intersection du cercle cherché avec la droite (SM). On sait que ce point doit vérifier p = SM⋅SM=SU⋅SU'. Ce point est donc l'intersection du cercle UU'M avec (SM).
Il ne reste plus qu'à trouver le cercle tangent à (c) et passant par Met M. L'autre centre d'homothétie conduira à la construction d'un autre point.
Cercle passant par un point donné et tangent à une droite et un cercle donnés Comme précédemment, l'idée est de remplacer le cercle par un point en étudiant les propriétés d'un cercle (c) tangent à un cercle et à une droite.