En mathématiques, la formule du multinôme de Newton est une formule donnant le développement d'une puissance entière naturelle d'une somme d'un nombre fini de nombres sous forme d'une somme de produits de puissances de ces nombres affectés de coefficients, lesquels sont appelés des coefficients multinomiaux. La formule du binôme s'obtient comme cas particulier de la formule du multinôme, pour ; et dans ce cas les coefficients multinomiaux sont les coefficients binomiaux.

Énoncé

Soient et deux entiers naturels, , et des nombres réels ou complexes (ou plus généralement, des éléments d'un anneau commutatif, voire seulement d'un anneau, à condition que ces éléments commutent deux à deux). Alors, . La somme porte sur tous les m-uplets d'indices entiers naturels tels que , certains d'entre eux pouvant être nuls.

Une écriture équivalente mais bien plus concise consiste à sommer sur tous les multi-indices de dimension dont le module est égal à :

Les nombres

sont appelés les coefficients multinomiaux.

Le coefficient multinomial est également le nombre de « partitions ordonnées » d'un ensemble à éléments en ensembles de cardinaux successifs . Plus formellement :

Par exemple, les 3 «partitions ordonnées» comptées par sont , , .

Et plus concrètement, est le nombre de mots de longueur formés avec un alphabet de caractères, le premier caractère étant répété fois, le deuxième, fois, ..., le -ième, fois. Par exemple, le nombre d'anagrammes du mot Mississipi vaut .

Démonstrations Une preuve directe est d'utiliser l'avant-dernière expression ci-dessus des coefficients multinomiauxCette preuve combinatoire est disponible par exemple dans et sur Wikiversité, dans le lien ci-dessous..

Une autre est de raisonner par récurrence sur , en utilisant la formule du binômeCette preuve par récurrence est disponible par exemple sur Wikiversité, dans le lien ci-dessous..

Enfin, on peut utiliser le développement en série entière (ou simplement formelle) de l'exponentielleCette preuve « analytique » est disponible par exemple dans et sur Wikiversité, dans le lien ci-dessous..

Exemples et dénombrements

Dans les exemples suivants, les indices intervenant dans les diverses sommes sont supposés être distincts, ne jamais se répéter et être compris entre 1 et ; s'il n'y a pas de possibilité pour ces indices, la somme est égale à 0 par convention.

Si l'on range les coefficients multinomiaux en triangle de sorte que dans la ligne se trouvent les avec , les étant rangés dans l'ordre lexicographique descendant, on obtient les premières lignes, en commençant à = 1 :

1 1, 2 1, 3,  6 1, 4,  6, 12, 24 1, 5, 10, 20, 30, 60, 120 1, 6, 15, 20, 30, 60, 90, 120, 180, 360, 720

Voir la .

On peut remarquer que dans ce triangle le nombre de termes de la ligne est égal au nombre de partitions de l'entier ; la somme des termes d'une ligne est répertoriée comme .

Le nombre total de termes dans le développement de est égal, lui, au nombre de monômes unitaires de degré formés à partir de , soit le nombre de leurs -combinaisons avec répétitions

Lien entre coefficients multinomiaux et binomiaux, et applications On a : , formules que l'on obtient naturellement lorsqu'on cherche le nombre de mots de longueur formés avec un alphabet de caractères, le premier caractère étant répété fois, le deuxième, fois, ..., le -ième, fois.

Ceci peut être un moyen simple de prouver que est entier si .

Par exemple, pour tous entiers naturels , , nombre de partitions ordonnées d'un ensemble à éléments en parties à éléments, est entier. Il est même divisible par , puisqu'on obtient le nombre de partitions (non ordonnées) d'un ensemble à éléments en parties à éléments.

Généralisation de la relation de Pascal aux coefficients multinomiaux On a, pour et :

ce qui découle par exemple de .

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes Formule du trinôme de Newton Permutation avec répétition Loi multinomiale

Bibliographie

Multinome Catégorie:Coefficient binomial