Dans la théorie des algèbres de Lie, la forme de Killing est une forme bilinéaire symétrique naturellement associée à toute algèbre de Lie. Elle reflète un certain nombre de propriétés des algèbres de Lie (semi-simplicité, résolubilité…).
Définition
Soit une -algèbre de Lie, où désigne un corps (commutatif). La représentation adjointe définit pour tout vecteur x de un endomorphisme -linéaire ad(x) du -espace vectoriel :
Si est de dimension finie, on définit la forme bilinéaire symétrique définie par :
la trace du produit des représentations adjointes. Cette forme est appelée forme de Killing de , aussi parfois notée . La forme de Killing est l'unique forme bilinéaire symétrique sur invariante sous l'action des automorphismes de la -algèbre de Lie et vérifiant l'identité remarquable :
Curieusement, la forme de Killing a été définie par Élie Cartan, tandis que la matrice de Cartan a été définie par Wilhelm Killing.
Propriétés La forme de Killing des idéaux s'obtient par restriction de celle de l'algèbre de Lie. Soit un idéal de , alors .
La forme de Killing fournit un critère de semi-simplicité. Une algèbre de Lie est semi-simple si et seulement si sa forme de Killing est non-dégénérée.
En caractéristique nulle, le critère de Cartan appliqué à la représentation adjointe offre un critère de résolubilité pour la forme de Killing. Une algèbre de Lie vérifit que pour tous et si et seulement si elle est résoluble.
Notes et références
Articles connexes Tenseur de Killing Opérateur de Casimir Théorème de Lie Critère de Cartan
Catégorie:Algèbre de Lie