En mathématiques récréatives, une paire de Ruth-Aaron est constituée de deux entiers naturels consécutifs (par exemple 714 et 715) pour lesquels les sommes des facteurs premiers de chaque entier sont égales.
714 = 2 × 3 × 7 × 17 715 = 5 × 11 × 13 et 2 + 3 + 7 + 17 = 5 + 11 + 13 = 29
Si l'on ne compte que les facteurs premiers distincts, les premières paires de Ruth-Aaron sont :
(5, 6), (24, 25), (49, 50), (77, 78), (104, 105), (153, 154), (369, 370), (492, 493), (714, 715), (1682, 1683), (2107, 2108).
(Le plus petit des deux nombres de chaque paire est listé dans la .)
En comptant les facteurs premiers répétés (par exemple 8 = 2 × 2 × 2 et 9 = 3 × 3 avec 2 + 2 + 2 = 3 + 3), les premières paires de Ruth-Aaron sont :
(5, 6), (8, 9), (15, 16), (77, 78), (125, 126), (714, 715), (948, 949), (1330, 1331).
(Le plus petit des deux nombres de chaque paire est listé dans la .)
Ces nombres ont été nommés par Carl Pomerance en l'honneur des joueurs de baseball Babe Ruth et Hank Aaron, parce que le nombre total de coups de circuit de la carrière en saison régulière de Babe Ruth était égal à 714, un record que Aaron éclipsa le , lorsqu'il frappa le de circuit de sa carrière. Pomerance était alors mathématicien à l'université de Géorgie. Un étudiant d'un collègue de Pomerance remarqua que les sommes des facteurs premiers de 714 et de 715 étaient égales.
Triplets de Ruth-Aaron
Les triplets de Ruth-Aaron (recouvrant les paires de Ruth-Aaron) existent aussi : lorsque l'on ne compte que les facteurs premiers distincts :
89460294 = 2 × 3 × 7 × 11 × 23 × 8419 89460295 = 5 × 4201 × 4259 89460296 = 2 × 2 × 2 × 31 × 43 × 8389 et 2 + 3 + 7 + 11 + 23 + 8419 = 5 + 4201 + 4259 = 2 + 31 + 43 + 8389 = 8465
151165960539 = 3 × 11 × 11 × 83 × 2081 × 2411 151165960540 = 2 × 2 × 5 × 7 × 293 × 1193 × 3089 151165960541 = 23 × 29 × 157 × 359 × 4021 et 3 + 11 + 83 + 2081 + 2411 = 2 + 5 + 7 + 293 + 1193 + 3089 = 23 + 29 + 157 + 359 + 4021 = 4589
(le plus petit nombre de chaque paire est listé dans la ) ;
en comptant les facteurs premiers répétés :
417162 = 2 × 3 × 251 × 277 417163 = 17 × 53 × 463 417164 = 2 × 2 × 11 × 19 × 499 et 2 + 3 + 251 + 277 = 17 + 53 + 463 = 2 + 2 + 11 + 19 + 499 = 533
6913943284 = 2 × 2 × 37 × 89 × 101 × 5197 6913943285 = 5 × 283 × 1259 × 3881 6913943286 = 2 × 3 × 167 × 2549 × 2707 et 2 + 2 + 37 + 89 + 101 + 5197 = 5 + 283 + 1259 + 3881 = 2 + 3 + 167 + 2549 + 2707 = 5428
(ce sont les deux seuls triplets inférieurs à 10).
Références , dont les références étaient : Paul Hoffman, The Man Who Loved Only Numbers, Hyperion , , et .
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