vignette|Gottfried Wilhelm Leibniz En mathématiques, et plus précisément en analyse, l'analyse non standard est un ensemble d'outils développés depuis 1960 afin de traiter la notion d'infiniment petit de manière rigoureuse. Pour cela, une nouvelle notion est introduite, celle d'objet standard (s'opposant à celle d'objet non standard), ou plus généralement de modèle standard ou de modèle non standard. Cela permet de présenter les principaux résultats de l'analyse sous une forme plus intuitive que celle exposée traditionnellement depuis le .
Historique La naissance du calcul différentiel et infinitésimal au mena à l'introduction et à l'utilisation de quantités infiniment petites. Leibniz, Euler et Cauchy en firent grand usage. Cependant, ils ne purent éclairer pleinement la nature même de ces infiniment petits. Leur usage disparut au avec le développement de la rigueur en analyse, par Weierstrass et Dedekind.
Il fallut attendre la deuxième moitié du pour qu'une introduction rigoureuse des infiniment petits soit proposée. Après une approche due à Abraham Robinson en 1961, issue des travaux de la logique mathématique et utilisant la notion de modèle, Wilhelmus Luxemburg popularisa en 1962 une construction (déjà découverte par Edwin Hewitt en 1948) des infiniment petits (et des autres hyperréels) par une ultrapuissance de Voir l'article d'André Pétry, « Balade en Analyse non standard sur les traces de A. Robinson ».Cette méthode utilise l'axiome de l'ultrafiltre, version faible de l'axiome du choix, donnant ainsi naissance à une nouvelle théorie, l'analyse non standard. En 1977, Edward Nelson fournit une autre présentation de l'analyse non standardLaquelle est souvent jugée plus commode d'emploi pour l'enseignement : c'est par exemple le point de vue adopté par F. Diener et G. Reeb dans l'ouvrage cité en référence. – appelée IST (, c'est-à-dire « Théorie des ensembles internes » en anglais) – fondée sur l'axiomatique de Zermelo-Frankel à laquelle est ajouté un nouveau prédicat : le prédicat standard. Le comportement de ce nouveau prédicat est fondé sur trois axiomes nouveaux : l'axiome d'idéalisation ; l'axiome de standardisation ; l'axiome de transfert.
Le sens du qualificatif standard donné par ces axiomes est celui d'objet appartenant à l'horizon perceptible, non standard comme étant au-delà de l'horizon perceptible. Un ensemble peut donc être standard ou non standard (on dit aussi charmé), il ne peut être les deux. Seront standard les objets usuels des mathématiques classiques (1, 2, …). Les infiniments petits ou infiniments grands introduits seront non standard.
Intérêt de l'analyse non standard
Il y a deux types d'applications : il a été établi qu'un énoncé classique, possédant une démonstration dans le cadre de l'analyse non standard, était vrai dans le cadre des mathématiques classiques. La situation est tout à fait comparable à celle des mathématiciens d'avant 1800, qui s'autorisaient à utiliser les nombres imaginaires à condition que le résultat final soit bien réel. L'analyse non standard permet donc de donner de nouvelles démonstrations (souvent plus simples) de théorèmes classiques ; l'analyse non standard permet en outre de manipuler les concepts nouveaux de nombre infiniment petit ou d'infiniment grand qui ont posé tant de problèmes aux mathématiciens et qui avaient été bannis de l'analyse. Elle est donc plus générale que l'analyse classique, de même que l'analyse complexe est plus générale que l'analyse réelle ; cependant, l'analyse non standard a eu à ce jour peu d'influence. Peu de théorèmes nouveaux ont été mis au point au moyen de celle-ci, et pour le moment, elle constitue essentiellement une réécriture de l'ensemble de l'analyse au moyen de nouveaux concepts. Il convient de préciser qu'on ne saurait s'attendre à de nouveaux résultats en analyse élémentaire ; des applications intéressantes doivent être cherchées, par exemple, du côté de l'étude des systèmes différentiels « lents-rapides » et de leurs « canards »Voir à ce sujet le dernier chapitre du livre de F. Diener et G. Reeb cité en référence, ainsi que l'article de Nils Berglund, Des canards dans mes neurones, donnant un exemple d'application de l'analyse non standard à l'étude d'équations différentielles..
Les axiomes
On se place dans le cadre de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel. Les objets ou les ensembles définis par cette théorie seront qualifiés d'internes ou classiques. C'est le cas de tous les objets et ensembles usuels que nous connaissons : … On introduit un nouveau prédicat, étranger à la théorie de Zermelo-Fraenkel, et qui s'applique sur les ensembles et objets internes précédents. Un tel ensemble ou objet pourra être qualifié de standard ou de non standard. Par exemple, on pourra parler d'entier standard et d'entier non standard. Le mot « standard » n'est pas défini, pas plus que ne sont définis les mots « ensemble » ou « appartenance ». Ce sont ce qu'on appelle des notions primitives. On explique seulement la façon dont on peut utiliser cette nouvelle notion, au moyen des axiomes qui suivent.
Axiome d'idéalisation
Soit R(x, y) une relation « classique ». Par relation classique, on entend une relation ne faisant pas intervenir le nouveau prédicat « standard » dans son énoncé. Il s'agit donc d'une relation usuelle de nos mathématiques de tous les jours.
L'axiome d'idéalisation affirme que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
Pour chaque ensemble standard fini F, il existe x (noté dans la suite ) tel que R(x, y) pour tous les y appartenant à F ; Il existe x tel que R(x, y) pour tout y standard.
L'axiome signifie que, pour trouver un x qui vérifie une propriété relative à tous les y standard, il suffit qu'on puisse trouver un tel x relatif aux éléments y de n'importe quel ensemble standard fini.
Exemple 1 : Il existe un entier supérieur à tous les entiers standard
Nous voulons montrer que : il existe x entier, tel que, pour tout y standard entier, x > y. Soit donc R(x, y) défini par : x est entier et y est entier et x > y. La proposition 1 de l'axiome d'idéalisation est bien vérifiée : si F est fini, il existe bien un entier x supérieur aux entiers y éléments de F. Par conséquent, l'axiome d'idéalisation énonce que la proposition 2 est aussi vérifiée et celle-ci correspond à notre énoncé.
Il existe donc un entier x supérieur à tous les nombres entiers standard. Cet entier sera donc non standard, sinon, il serait supérieur à lui-même. Nous venons donc de montrer qu'il existe au moins un entier non standard.
Les entiers supérieurs à x sont a fortiori non standard, sinon, x leur serait supérieur. Pour cette raison, dans l'ensemble des entiers, les entiers non standard sont également qualifiés d'inaccessibles, ou d'illimités, ou d'infiniment grands. Les entiers non standard sont aussi appelés hypernaturels.
Exemple 2 : Tout ensemble infini possède un élément non standard Considérons la relation x différent de y dans un ensemble E infini. Pour chaque partie finie standard F, il existe un élément x noté appartenant à E tel que x soit différent de y pour tout y appartenant à F, puisque E est infini.
L'axiome d'idéalisation fournit alors l'existence d'un élément x appartenant à E et différent de tous les éléments standard y appartenant à E ; x est évidemment non standard.
On en déduit la propriété suivante : Dans tout ensemble infini, il existe au moins un élément non standard.
et par contraposition :
Si tous les éléments d'un ensemble sont standard, cet ensemble E est fini.
Exemple 3 : Théorème de Nelson
Ce théorème énonce que, si E est un ensemble, il existe une partie finie X de E contenant tous les éléments standard de E. Cependant, on ne peut en conclure que les éléments standard d'un ensemble quelconque ont une cardinalité finie, puisque les éléments standard ne constituent pas un ensemble. On définit pour cela la relation R(X, y) suivante : X est inclus dans E, X est fini et si y est élément de E, alors y est élément de X.
La proposition 1 de l'axiome d'idéalisation est bien vérifée pour toute partie finie F (standard ou non d'ailleurs) en prenant pour X l'intersection de F et E. Par conséquent, la proposition 2 de l'axiome d'idéalisation permet de valider le théorème de Nelson.
La partie X donnée par l'axiome est une partie interne ou classique. Elle ne se limite pas nécessairement aux seuls éléments standard de E, car, a priori, la collection des éléments standard, définie à partir de la relation non classique « être standard » est un objet externe, c'est-à-dire étranger aux mathématiques usuelles. En effet, la relation « être standard » ne fait pas partie des relations auxquelles s'appliquent les axiomes de ZFC, ce qui veut dire qu'il n'existe pas d'ensemble ne contenant que les entiers standard. Ainsi, dans les entiers, un ensemble X contenant tous les entiers standard est de la forme {0, 1, 2, …, n} avec n non standard, et cet ensemble contient aussi des entiers non standard.
Axiome de transfert
Dès que tous les paramètres d'une formule classique F ont des valeurs standard :
Pour tout x standard, F(x, , …, ) si et seulement si pour tout x, F(x, , …, )
Autrement dit, pour vérifier qu'une formule usuelle dépendant de paramètres standard est vraie pour tout x, il suffit de la vérifier pour tout x standard. Intuitivement, nous ne pouvons accéder qu'aux éléments standard, et ce sont eux qui nous permettront de vérifier une formule classique. Cet axiome peut aussi s'exprimer (par négation) :
Il existe x standard, F(x, , ..., ) si et seulement s’il existe x, F(x, , ..., )
Si une propriété classique est vraie pour un x, alors elle est vraie pour un x standard. En voici quelques conséquences. La plus importante est le fait que si un objet mathématique est défini de façon classique de manière unique à partir d'objets standard, il est nécessairement standard. C'est donc le cas de pour n standard. De même, si E et F sont des ensembles standard, il en est de même de leur intersection, de leur réunion, de leur produit, de l'ensemble des applications de E dans F, de l'ensemble des parties de E. Si a et b sont deux nombres standard, il en est de même de ab, a+b, a–b, a/b, etc. Si n est standard, il en est de même de n+1 ou de In = {1, ..., n}. Si A est une partie standard de bornée, Sup A et Inf A sont standard. Si f est une fonction standard (c’est-à-dire définie sur des ensembles standard et de graphe standard), alors l'image d'un élément standard est standard.
Enfin, cet axiome permet de montrer que, pour voir que deux ensembles standard sont égaux, il suffit de vérifier qu'ils possèdent les mêmes éléments standard. Ainsi, la seule partie standard de contenant tous les entiers standard est lui-même. Par contre, il existe des parties non standard contenant tous les entiers standard, à savoir les parties {0, 1, 2, ..., n} avec n non standard.
Axiome de standardisation
Soit E un ensemble standard, soit P une propriété quelconque, faisant ou non intervenir le postulat « standard ». Alors :
Il existe un ensemble A standard tel que pour tout x standard, x appartient à A si et seulement si x appartient à E et vérifie P(x)