En mathématiques, la géométrie hyperbolique (nommée auparavant géométrie de Lobatchevski, lequel est le premier à en avoir publié une étude approfondie) est une géométrie non euclidienne vérifiant les quatre premiers postulats d’Euclide, mais pour laquelle le cinquième postulat, qui équivaut à affirmer que par un point extérieur à une droite passe une et une seule droite qui lui est parallèle, est remplacé par le postulat selon lequel « par un point extérieur à une droite passent plusieurs droites parallèles à celle-ci » (il en existe alors une infinité).

En géométrie hyperbolique, la plupart des propriétés métriques de la géométrie euclidienne ne sont plus valables ; en particulier le théorème de Pythagore n'est plus vérifié, et la somme des angles d'un triangle est toujours inférieure à 180°. Les droites restent cependant les lignes de plus court chemin joignant deux points, ce qui a permis à Beltrami, dans le cas du plan hyperbolique, de les modéliser comme des géodésiques sur une surface de courbure constante négative, de même que les droites de la géométrie elliptique sont modélisées par des grands cercles sur une sphère.

À la suite de Beltrami, Klein et Poincaré ont construit plusieurs autres modèles de géométrie hyperbolique, comme le modèle de l'hyperboloïde ou celui du disque de Poincaré. Ces modèles montrent l'indépendance de l'axiome des parallèles, c'est-à-dire l'impossibilité de le démontrer (ou de le réfuter) à partir des autres axiomes ; cela revient également à dire que si la géométrie euclidienne ne contient pas de contradiction, il en est de même de la géométrie hyperbolique.

La détermination de la « vraie » géométrie de notre espace physique s'est posée dès la découverte des géométries non euclidiennes ; au début du , les tests expérimentaux ne permettent toujours pas de décider ce qu'il en est, ce qui constitue le problème de la platitude, l'une des questions non résolues de la cosmologie.

Historique

Le cinquième postulat d'Euclide (appelé actuellement « axiome des parallèles ») semble avoir toujours eu un statut bien moins « naturel » que celui des quatre autres, et avoir plutôt été ressenti comme un théorème dont la démonstration n'avait pas encore été obtenue.. Des tentatives de démonstration apparaissent dès l'Antiquité, et de nombreuses « preuves » erronées en existent. La piste la plus prometteuse pour le déduire des autres semble être de raisonner par l'absurde, et plusieurs mathématiciens ont cru avoir réussi, obtenant en niant le postulat des résultats qui leur paraissaient en effet contredire le bon sens, tels que le fait que deux droites perpendiculaires à une même droite s'éloigneraient l'une de l'autre dans les deux directions. Cependant, les échecs de ces tentatives allaient progressivement amener à l’idée que d’autres géométries étaient possibles, et à la découverte des géométries non euclidiennes.

L'histoire de la géométrie hyperbolique proprement dite semble cependant ne commencer qu'au début du avec les travaux du mathématicien italien Giovanni Girolamo SaccheriRoger Penrose, À la découverte des lois de l'univers, Odile Jacob, 2007, chap 2.4., qui cherche à démontrer dans l'œuvre de sa vie, (Euclide lavé de toute tache), que les postulats d'Euclide sont cohérents et nécessaires pour définir la géométrie. Supposant notamment faux le cinquième postulat, il tente de développer toutes les conséquences de cette hypothèse, jusqu'à obtenir une contradiction. Il échoue dans cette tentative, obtenant une grande quantité de théorèmes étranges, mais ne présentant entre eux aucune incohérence. Ne réalisant pas qu'il a sous les yeux une nouvelle géométrie, il conclut son ouvrage par l’aveu d’un demi-échec.

Au milieu du , Jean-Henri Lambert étudie lui aussi les conséquences de la négation du postulat, et obtient sous cette hypothèse des théorèmes et des résultats précis (considérés désormais comme appartenant à la géométrie hyperbolique), comme la formule donnant la somme des angles d'un triangle en fonction de sa surface : , où sont les angles des trois sommets du triangle, un coefficient de proportionnalité, et la surface du triangle. Vers la fin de sa vie, il semble qu'il ait réalisé que ces théorèmes manifestent l'existence d'une authentique géométrie .

Ce sont les travaux de Carl Friedrich Gauss qui sont généralement reconnus comme étant le véritable point de départ de la géométrie hyperbolique, bien que ceux-ci n'aient jamais été publiés de son vivant. Il formule dans ses notes, dès 1813, une théorie structurée, chap. 4, Figures, espaces et géométries, section 11 : les géométries non euclidiennes ., et il semble qu'il avait pleinement conscience que cette géométrie avait un statut mathématique équivalent à celui de la géométrie euclidienne..

La géométrie hyperbolique est redécouverte et explorée de manière extensive par Nikolaï Lobatchevski à partir de 1830. (première édition en russe, édition française en 1856 sous le titre Pangéométrie ou Précis de géométrie fondée sur une théorie générale et rigoureuse des parallèles)., et indépendamment par János Bolyai, dès 1825, dans des travaux publiés en 1831. ; cependant, ces travaux n’obtiennent qu'une reconnaissance très tardive, lorsqu'est publiée en 1865 la correspondance entre Gauss et Heinrich Christian SchumacherConférence sur l'histoire de la géométrie non euclidienne, par Jean-Daniel Voelke., dans laquelle Gauss dit le plus grand bien de Lobatchevski et de BolyaiChristian Houzel et Jean-Pierre Bourguignon, .

La géométrie hyperbolique est considérée comme une curiosité sans vraie importance pratique (Lobatchevski l'appelle « géométrie imaginaire », au sens où elle s'oppose à la géométrie réelle de l'espace physique), jusqu'à ce que Eugenio Beltrami en propose en 1868 plusieurs modèles (qu'il appelle des représentations), parmi lesquelles les représentations conforme et projective, redécouvertes par la suite respectivement par Henri Poincaré et Felix Klein, ainsi que le modèle de la pseudosphère. Il démontre, à l’aide de ces représentations, que si la géométrie euclidienne est mathématiquement cohérente, alors la géométrie hyperbolique l'est aussi nécessairement, et donc que l’axiome des parallèles est indépendant des autres.

En 1872, Felix Klein montre, dans le programme d'Erlangen, que toutes les géométries, euclidiennes et non euclidiennes, peuvent être vues comme des sous-géométries de la géométrie projective, en utilisant une conique (dite conique absolue) privilégiée (cette construction est celle qui définit la métrique de Cayley-Klein) ; le choix d'une conique « réelle » comme conique absolue permet de construire la géométrie de Lobatchevski et explique en partie le nom de « géométrie hyperbolique » que Klein lui donne et qui lui est désormais associé...

Géométrie du plan hyperbolique Cette section ne détaille que les propriétés des figures planesLa plupart des formules et des résultats de cette section (avec leurs démonstrations) figure sur le site interactif de géométrie hyperbolique de l'université de Glasgow. ; en effet, la géométrie de l'espace hyperbolique en dimension supérieure peut se déduire de celle du plan comme dans le cas euclidien, et il n'y apparaît pas de phénomènes essentiellement nouveaux.

Géométrie absolue

Les propriétés du plan qu'on peut démontrer à partir des axiomes d'Euclide (ou d'une formulation plus rigoureuse et moderne, telle que celle de Hilbert), à l'exception de l'axiome des parallèles, sont dites appartenir à la géométrie absolue. Ainsi, par exemple, on montre que deux perpendiculaires à une même droite n'ont pas de points communs, et donc qu'il existe toujours des parallèles (c'est pourquoi la géométrie elliptique n'est pas une géométrie absolue). De nombreuses propriétés de la géométrie hyperbolique coïncident de même avec celles de la géométrie euclidienne, parfois au prix d'une reformulation : ainsi, on démontre aisément que les bissectrices intérieures d'un triangle quelconque sont concourantes (la démonstration classique n'utilise pas la notion de parallèles), et donc qu'il existe un cercle inscrit dans ce triangle ; les propriétés des médiatrices amèneraient à penser qu'elles sont également concourantes et donc qu'il existe également un cercle circonscrit, mais ce résultat est faux en général dans le plan hyperbolique, car deux perpendiculaires à deux droites concourantes peuvent être parallèles ; ce qui reste vrai, c'est que si deux médiatrices d'un triangle se coupent, les trois médiatrices sont concourantes (le même résultat est également vrai pour les hauteurs du triangle).

Parallèles

On obtient la géométrie hyperbolique à partir de la géométrie absolue en remplaçant l'axiome des parallèles (ou plus exactement la version qu'en a donné Proclus) par un axiome affirmant par exemple que « il existe au moins deux droites concourantes parallèles à une même troisième ». On démontre alors que pour toute droite et pour tout point non sur , il existe une infinité de droites passant par et ne rencontrant pas , situées entre deux droites limites formant un angle 2θ ne dépendant que de la distance de à ; θ est appelé angle de parallélisme (le calcul de cet angle en fonction de la distance sera fait dans la section consacré aux propriétés métriques). Les deux droites limites sont dites parallèles asymptotes à (certains auteurs réservent le terme de parallèles aux parallèles asymptotes ; les autres droites non sécantes sont alors dites ultraparallèles, ou parfois hyperparallèles). On démontreC'est le théorème des ultraparallèles ; David Hilbert a donné une construction géométrique explicite de la perpendiculaire commune. que si deux droites du plan sont non sécantes (parallèles au sens euclidien usuel), ou bien elles sont asymptotes, ou bien il existe une et une seule droite perpendiculaire aux deux ; le segment découpé sur cette perpendiculaire commune correspond alors à la distance minimale entre ces deux droites (laquelle est nulle pour deux droites asymptotes). Les notions euclidiennes de direction d'une droite, définie comme relation d'équivalence entre droites parallèles, et de point à l'infini d'une droite (défini, en géométrie projective, comme l'intersection de cette droite avec la droite de l'infini) disparaissent, mais il reste possible de définir une relation d'équivalence entre parallèles asymptotes (les droites possédant désormais deux directions) ainsi qu'une notion de points à l'infini ; par exemple, dans le modèle du disque de Poincaré, les points à l'infini forment un cercle limitant le disque et chaque droite (représentée dans ce modèle par un arc de cercle) coupe ce cercle limite en deux points correspondant à ses deux directions, deux droites étant parallèles asymptotes si elles ont un point à l'infini en commun.

Cercles et pseudo-cercles