vignette|Exemple de deux échantillons ayant la même moyenne (100) mais des écarts types différents illustrant l'écart type comme mesure de la dispersion autour de la moyenne. La population rouge a un écart type (SD = standard deviation) de 10 et la population bleue a un écart type de 50.
En mathématiques, l’écart type (aussi orthographié écart-type) est une mesure de la dispersion des valeurs d'un échantillon statistique ou d'une distribution de probabilité. Il est défini comme la racine carrée de la variance ou, de manière équivalente, comme la moyenne quadratique des écarts par rapport à la moyenne. Il se note en général avec la lettre grecque σ (« sigma »), d’après l’appellation en anglais. Il est homogène à la variable mesurée.
Les écarts types sont rencontrés dans tous les domaines où sont appliquées les probabilités et la statistique, en particulier dans le domaine des sondages, en physique, en biologie ou dans la finance. Ils permettent en général de synthétiser les résultats numériques d'une expérience répétée. Tant en probabilités qu'en statistique, il sert à l'expression d'autres notions importantes comme le coefficient de corrélation, le coefficient de variation ou la répartition optimale de Neyman.
Quand l'écart type d'une population est inconnu, sa valeur est approchée à l'aide d'estimateurs.
Exemples : Population de personnes de même taille : On considère une population de 4 personnes mesurant . La moyenne des tailles est de . Chaque valeur étant égale à la moyenne, l'écart type est de . Population de personnes de tailles différentes : On considère maintenant une population de 4 personnes mesurant , , et . Dans ce cas-ci, la moyenne est aussi de : . Cependant, les écarts par rapport à la moyenne sont maintenant de , , et , respectivement. Pour connaître l'écart type, on calcule la moyenne quadratique de ces écarts, c'est-à-dire , qui vaut environ .
Histoire
L'écart type est une grandeur dont l'invention remonte au , qui voit la statistique se développer au Royaume-Uni.
C'est à Abraham de Moivre qu'est attribuée la découverte du concept de mesure de la dispersion qui apparaît dans son ouvrage en 1718.. Mais le terme d'écart type () a été employé pour la première fois par Karl Pearson en 1893 devant la Royal Society.. C'est aussi Karl Pearson qui utilise pour la première fois le symbole σ pour représenter l'écart type. En 1908, William Gosset, plus connu sous le pseudonyme de Student, définit l'écart type empirique d'un échantillon et montre qu'il est important de le distinguer de l'écart type d'une population. La variance est une notion qui apparut plus tard, en 1918, dans un texte de Ronald Fisher intitulé ..
Sur population totale Définition À partir d'un relevé exhaustif d'une variable quantitative pour tous les individus d'une population, l'écart type est la racine carrée de la variance, c'est-à-dire.. Voir théorème de König-Huygens pour l'établissement de la seconde formule. :
où représente la moyenne. L'écart type est homogène à la variable mesurée, c'est-à-dire que si par un changement d'unité, toutes les valeurs sont multipliées par un coefficient , l'écart type sera multiplié par le même coefficient. En revanche, l'écart type est invariant par décalage additif : si on ajoute une constante à toutes les valeurs relevées, cela ne change pas l'écart type. Ces deux propriétés font de l'écart type un indicateur de dispersion.
Par contraste avec d'autres indicateurs de dispersion comme l'écart interquartile, l'écart type a l'avantage de pouvoir se calculer à partir des moyennes et écarts types sur une partition de la population, puisque la variance globale est la somme de la variance des moyennes et de la moyenne des variances. Cela permet de calculer l'écart type en parallèle.
L'écart type est implémenté en Python dans la bibliothèque numpy avec la méthode std. En R, la fonction sd (pour standard deviation). utilise à la place de , ce qui correspond à l'estimateur de l'écart-type d'une population à partir d'un échantillon.
Expression comme distance L'écart type est la distance euclidienne du point de coordonnées à la droite diagonale engendrée par le vecteur dans , atteinte en son projeté orthogonal de coordonnées .
L'écart type est donc le minimum de la fonction qui calcule la distance entre et le point de coordonnées .
Coefficient de variation L'écart type peut être utilisé pour comparer l'homogénéité de plusieurs populations sur une même variable. Par exemple, si on donne deux classes d'un même niveau moyen et évaluées selon les mêmes critères, la classe avec un plus fort écart type des notes sera plus hétérogène. Dans le cas d'une notation de à , l'écart type minimal est (notes toutes identiques), et peut valoir jusqu'à si la moitié de la classe a et l'autre moitié Si n élèves ont 0/20 et n élèves ont 20/20, c'est-à-dire l'échantillon contient n fois la valeur 20 et n fois la valeur 0, la moyenne est ; soit et . Les valeurs au carré, notées , sont n fois 400 et n fois 0. La moyenne de vaut donc . On en déduit que la variance vaut 100 et l'écart type 10..
En revanche, on ne peut comparer tels quels les écarts types de variables différentes, et dont les ordres de grandeur ne correspondent pas nécessairement. Pour une variable quantitative strictement positive, on définit alors le coefficient de variation, égal au quotient de l'écart type par la moyenne.. Ce nombre adimensionnel ne dépend pas de l'unité de mesure choisie et permet de comparer la dispersion de variables différentes.
Un coefficient de variation élevé peut éventuellement signaler l'existence d'une valeur aberrante. Un critère consiste à rejeter les valeurs qui diffèrent de la moyenne par plus de 3 fois l'écart type. Dans le cas d'une distribution gaussienne, la probabilité d'un tel dépassement. est de l'ordre de 3/1000.
Pour une variable aléatoire Définition La modélisation probabiliste d'une distribution statistique consiste à définir une variable aléatoire, c'est-à-dire une application avec une mesure de probabilité , laquelle permet de définir les probabilités de la forme . La donnée de ces probabilités constitue la loi de probabilité. de . La modélisation est fidèle si la probabilité d'un évènement correspond à la fréquence d'occurrence des valeurs correspondantes dans la population testée, conformément à la loi des grands nombres.
On s'intéresse ici aux variables aléatoires réelles ou vectorielles de carré intégrable, c'est-à-dire dont l'espérance converge. Pour une variable vectorielle (à valeurs dans un espace vectoriel normé complet), l'espérance est un vecteur du même espace et le carré désigne le carré de la norme. L'ensemble de ces variables est lui-même un espace vectoriel.
L'écart type de est la racine carrée de la varianceLa deuxième égalité est donnée par le théorème de König-Huygens.. .
L'existence de l'écart type est assurée pour une variable aléatoire bornée ou admettant une fonction de densité dominée à l'infini par une fonction puissance avec .
Exemples Dans le cas d'une variable aléatoire discrète dont les valeurs sont notées , avec , l'écart type s'écrit comme pour une série statistique , où est l'espérance de la loi de .
En particulier, si est uniforme. sur un ensemble fini , c'est-à-dire si pour tout entre 1 et , alors .
Dans le cas d'une variable aléatoire à densité pour laquelle les probabilités s'écrivent
où est une fonction localement intégrable, pour la mesure de Lebesgue par exemple, mais pas nécessairement une fonction continue., l'écart type de est défini par où est l'espérance de .
Avec ces formules et la définition, le calcul des écarts types pour les lois couramment rencontrées est aisé. Le tableau suivant donne les écarts types de quelques-unes de ces lois : Nom de la loi Paramètre(s) Description Écart type Loi de Bernoulli Loi discrète sur avec une probabilité d'obtenir 1 Loi binomiale. et Loi de la somme de variables indépendantes suivant la loi de Bernoulli de même paramètre Loi géométrique. Loi du rang de la première réalisation dans une suite de variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre Loi uniforme sur un segment. Loi de densité constante sur Loi exponentielle Loi à densité avec un taux de panne constant Loi de Poisson. Loi sur du nombre de réalisations indépendantes sur de moyenne Loi du χ². Loi de la somme de carrés de variables normales centrées réduites indépendantes
Si la variable X suit une loi log-normale alors suit une loi normale et l'écart type de X est relié à l'écart type géométrique..
Mais toutes les lois de probabilité n'admettent pas forcément un écart type fini : la loi de Cauchy (ou loi de Lorentz) n'a pas d'écart type, ni même d'espérance mathématique..
Propriétés Positivité L'écart type est toujours positif ou nul. Celui d'une constante est nul. Invariance par translation L'écart type ne change pas si on ajoute une constante à la variable aléatoire : . HomogénéitéToutes ces propriétés sont la conséquence directe du théorème de Huygens et des propriétés de l'espérance mathématique.. Pour toute constante positive et toute variable aléatoire réelle , on a . Somme algébrique de deux variables L'écart type de la somme de deux variables s'écrit. sous la forme
où est le coefficient de corrélation entre les deux variables X et Y. Inégalité triangulaire L'écart type de la somme est majoré par la somme des écarts typesL'inégalité découle de l'égalité précédente et de l'encadrement du coefficient de corrélation : . : . De plus, il y a égalité si et seulement s'il existe une relation affine presque sûre entre les deux variables. Distance euclidienne L'écart type d'une variable aléatoire réelle est la distance euclidienne de cette variable à la droite des constantes dans l'espace des variables admettant une variance.. C'est donc le minimum de la fonction , atteint sur la constante .
Usages Intervalle de fluctuation thumb|Représentation graphique de la fonction de densité d'une loi normale. Chaque bande colorée a la largeur d'un écart type.
En sciences, il est fréquent de considérer que les mesures d'une grandeur se répartissent selon une distribution gaussienne, par accumulation d'erreurs de mesure ou d'interférences indépendantes avec d'autres phénomènes, en application du théorème central limite. L'histogramme des valeurs observées se rapproche alors d'une courbe en cloche caractéristique de la loi normale. La courbe étant complètement définie par la donnée de la valeur moyenne et de l'écart type, ces deux valeurs permettent de définir un intervalle de fluctuation qui concentre l'essentiel des observations.
Le calcul des quantiles de cette loi montre par exemple que pour une grandeur satisfaisant cette distribution sur une population d'individus, avec une moyenne et un écart type , 95 % des valeurs observées appartiendront à l'intervalle (voir 97,5e centile). On peut ainsi associer des probabilités à des intervalles de valeurs centrés sur la moyenne et dont l'amplitude est un multiple de l'écart type.. + Intervalles de fluctuation pour une distribution gaussienne Écart maximal à la moyenne Proportion des valeurs 68,27 % 95 % 95,45 % 99,73 % Dans l'industrie, l'écart type intervient dans le calcul de l'indice de qualité des produits manufacturés ou dans l'indice de fidélité d'un appareil de mesure...
En physique des particules, la détection d'évènements est ainsi quantifiée en nombre de sigmas, représentant l'écart entre la valeur observée et la moyenne attendue en l'absence d'évènement. Un résultat est considéré comme significatif par l'obtention de 5 sigmas, représentant une probabilité d'erreur inférieure à 0,00006 % (soit niveau de confiance de plus de 99,99994 %)..
right|thumb|La moyenne mobile est en rouge et les bandes de Bollinger, calculées à l'aide de l'écart type, sont en bleu.