Deux perspectives complémentaires peuvent être considérées pour étudier l'enfant qui apprend les mathématiques : la perspective de l'enseignant qui s'intéresse à la pédagogie de l'enseignement des mathématiques ; et celle de l'apprenant, l'apprentissage des mathématiques qui est un objet d'étude en psychologie du développement et psychologie cognitive.
Le développement du nombre, ou construction du nombre, ou apprentissage du nombre, ou encore acquisition du nombre chez l'enfant est un des sujets de recherche qui fait partie du champ de recherche plus vaste de l'apprentissage des mathématiques. Ces thèmes sont un des objets d'étude de la cognition numérique. Elle pose la question de la nature et du développement de processus mathématiques des plus simples aux plus élaborés, comme le comptage (1, 2, 3...), la comparaison des quantités numériques (3 < 5 même s'ils occupent visuellement le même espace) ; le calcul (addition, soustraction, multiplication, division) et la résolution de problèmes mathématiques de plus haut niveau de complexité, comme les problèmes d'algèbre et de géométrie.
La construction du nombre chez l'enfant est une voie de recherche de la psychologie du développement initiée par Jean Piaget et Alina Szeminska, dans leur ouvrage La genèse du nombre chez l'enfant en 1941. Piaget et Szeminska considéraient que le concept du nombre est acquis chez l'enfant vers 6 ou 7 ans, avec l'acquisition de la notion de conservation.
Les recherches ultérieures ont révélé que le concept de nombre est beaucoup plus précoce que ne le proposaient Piaget et Szeminska : il commencerait chez les nourrissons. Les expériences de en 1992 ont marqué ce champ d'étude en suscitant de nombreux débats sur le développement du concept du nombre chez le bébé et le jeune enfant. Ses travaux donnèrent lieu à de nombreux débats et les hypothèses contradictoires permettant d'expliquer ses résultats ont généré nombre de nouvelles études chez les nourrissons et chez les enfants d'âge préscolaire et scolaire, ainsi que de nombreuses études interculturelles pour dégager l'impact du langage ou de la familiarité des stimuli sur les performances.
Depuis les expériences de Wynn, de nombreuses questions restent ouvertes et débattues. Il s'agit de comprendre si les compétences numériques précoces relèvent de processus cognitifs et arithmétiques ou plutôt de nature perceptive ; si un sens intuitif des nombres existe, sa nature et sa relation avec les habiletés numériques apprises des jeunes enfants (en particulier le comptage, puis les opérations arithmétiques simples que sont les additions et soustraction) ; l'interférence du langage dans le développement des compétences numériques.
Historique thumb|right|René DescartesPythagore puis, plus tard, Descartes, placent l'origine de l’intelligence dans le don de Dieu. Darwin, dans sa théorie de l'évolution parle de l'« évolution naturelle de l’intelligence », et exclut ainsi Dieu de son analyse.
Jean Piaget et Jean-Pierre Changeux vont reprendre cette idée avec le « darwinisme neuronal mental ». Dès lors, ce thème de la construction du nombre est resté au premier plan de la psychologie développementale, et a connu une émergence de nombreuses recherches, qui ont débouché sur de nombreuses découvertes.
Expériences de Piaget et Szeminska : la genèse du nombre thumb|upright=1.5|left|Épreuve de conservation du nombre de Piaget Pour Jean Piaget et Alina Szeminska, (1941 ; 1967), l’enfant acquiert le concept du nombre au stade des opérations concrètes, s’appuyant et dépassant des niveaux d’acquisitions antérieurs. L’expérience clé créée et étudiée par Piaget pour étudier les enfants de ce stage est l'expérience de du nombre : deux rangées de jetons, de deux couleurs différentes, sont alignées devant l'enfant par l'expérimentateur. Les jetons ont des espacements différents (voir image). L'expérimentateur pose des questions à l'enfant sur les quantités de jetons ou lui demande de mettre le même nombre de jetons. Les jeunes enfants commettent l'erreur typique de penser qu'il y a plus de jetons lorsque les jetons sont plus éloignés et semblent plus dispersés visuellement (on retrouve cette erreur de « conservation » dans des expériences utilisant d'autres matériaux, comme l'eau transvasée dans des verres plus ou moins étroits, ou la pâte à modeler coupée en morceaux plus ou moins grands).
Les enfants peuvent résoudre avec succès le problème posé par cette expérience vers sept ou huit ans. Vers cet âge, l’enfant atteint le niveau de « conservation acquise », où il aligne le même nombre de jetons que l’expérimentateur, en dépassant la simple perception qui l’induisait en erreur auparavant. L'enfant donne des réponses caractéristiques de l’acquisition de la conservation selon Piaget.
Pour Piaget, le nombre se construit par une synthèse logico-mathématique entre les opérations de classification et de sériation.
Piaget a fait l'hypothèse que la performance est acquise en se construisant sur des capacités préalables et indispensables, d'où l'idée que le nombre se construit, quand l'enfant devient « conservant ». « Ainsi, Piaget concevait la genèse de la notion de nombre comme un processus essentiellement endogène de coordination d’actions devenant progressivement réversibles »Barrouillet, P., Camos, V. (2002). Savoir, savoir-faire arithmétiques, et leurs déficiences (version longue). Ministère de la recherche, programme cognitique, école et sciences cognitives. . .
Cette conception a été remise en cause par des expériences ultérieures. L’évolution des possibilités techniques offertes aux chercheurs contemporains leur a permis d'étudier plus précisément les capacités des enfants d’âge préverbal, ce qui a mis en évidence une capacité numérique plus précoce que celle observée par Piaget.
Connaissances précoces des nombres et quantités avant l'acquisition du langage
Premières expériences sur les nourrissons Dans les années 1980, Strauss et CurtisStrauss, M.S., & Curtis, L.E. (1981). Infant perception of numerosity. Child Development, 52, . se sont spécialement attachés à la capacité, pour des bébés de 10-12 mois, de discriminer des groupes de deux à cinq objets sur des photographies présentant des groupes d’objets homogènes ou hétérogènes. Ces auteurs ont utilisé le paradigme expérimental de l’habituation, et ont donc mesuré la durée de fixation de l’enfant sur l’image. Les résultats ont montré que même pour des groupes hétérogènes, les bébés sont capables de discriminer parfaitement des groupes de deux par rapport à trois objets, mais ils ne peuvent le faire plus que partiellement lorsqu’il s’agit de le faire avec trois et quatre éléments. Lorsqu'il leur est présenté des groupes de quatre ou cinq objets, les bébés ne parviennent plus à différencier les quantités d’objets.
D'autres auteursAntell, S.E., & Keating, D.P. (1983). Perception of numerical invariance in neonates. Child Development, 54, . avançaient que l'enfant ne pouvait pas discriminer quatre points de six, et ont donc mis en place une série de quatre expérimentations sur une population d’enfants âgés de six et neuf mois, basée sur un paradigme d'habituation exposant les nourrissons à de longues séquences sonores (par exemple, dans la première expérience, huit éléments sonores naturels différents tels que des cloches, des gazouillements, des bourdonnements, etc). Cette série d'expériences suggère que les nourrissons de six mois ont la capacité de discriminer des groupes d' « objets » relativement grands, et qu'il y a un progrès significatif trois mois après, c'est-à-dire à l’âge de neuf mois. Les auteurs en concluent qu'il existe un progrès des capacités numériques avant d’acquérir le langage.
Dans les années 2000, Lipton et SpelkeLipton, J.S., & Spelke, E.S. (2003). Origines of number sense: Large-number discrimination in human infants. Development science, 14, . ;. ont remis en cause les interprétations de ces résultats en défendant l'idée d'un (voir détails ci-dessous).
Capacités numériques innées ? Expériences de Wynn En 1992Wynn, K. (1992). Addition and subtraction by human infants. Nature, 358, ;., un article publié dans la revue Nature, par , une chercheuse canadienne-américaine spécialisée dans la cognition des nourrissons, vient bouleverser ce champ de recherche. Wynn a mis a point une procédure expérimentale basée sur le paradigme d'habituation qui lui permet d’étudier chez des bébés de quatre et cinq mois les réactions aux changements expliqués par l'addition ou la soustraction d'un item. Les nourrissons sont confortablement assis devant un théâtre de marionnettes où des poupées (Mickey Mouse) vont apparaître et disparaître. Une première poupée est présentée. Un écran s'abaisse pour cacher la première poupée. Une nouvelle poupée est ajoutée à côté, derrière l'écran. L'écran se relève alors. L'événement attendu serait de voir deux poupées : c'est l'événement possible (1+1=2). Or Wynn présente une condition où un événement impossible se produit : une seule poupée est présente sur la plateforme (1+1=1). La même procédure est mise en place pour étudier le principe de soustraction, où deux poupées ou trois sont présentées et l'une est retirée sous les yeux de l'enfant alors que l'écran est baissé.
Les temps de fixation oculaire de l’enfant sont mesurés. Dans un paradigme classique d'habituation, les temps de fixation de l'enfant diminuent lorsque le stimulus ne change pas, car l'attention de l'enfant diminue ; les temps de fixation augmentent lorsque le stimulus change, indiquant que son attention augmente. Wynn observe que dans la situation d’addition, les enfants réagissent à l’événement impossible (1+1=1), en fixant la scène plus longtemps. Dans la situation de soustraction, l’auteur constate qu’il en est de même pour l’évènement impossible (2-1=2).
De ces observations, Wynn conclut que les enfants de quatre et cinq mois ont des représentations précises du nombre, et pas seulement une dichotomie entre unique et plusieurs. De plus, pour réussir l’épreuve, les bébés devaient avoir acquis la permanence de l'objet.
Les interprétations de Wynn ont été immédiatement critiquées Xu, E. (1993). The concept of object identity. In Biennial Meeting of the Society for Research in Child Development, New Orleans, LA. et ont fait l'objet de nombreux débats qui se poursuivent depuis lors. La principale objection à Wynn, peut se résumer à : est-ce que l’on peut être sûr que l’enfant a bien traité numériquement les objets ? Il est possible que l'enfant ait traité l'information de façon globale, c'est-à-dire une poupée plus une poupée font plus qu'une, donc 1+1=plusieurs. Un tel processus de pensée relèverait d'un traitement perceptif holistique, et non d'un traitement arithmétique et cognitif, comme le propose Wynn. Jacqueline Bideaud explique : « les résultats de Wynn seraient davantage liés à la « permanence de l'objet » et à la capacité de l’enfant de se représenter deux objets discrets (sur la base d’informations spatio-temporelles en particulier) qu’à des compétences arithmétiques précises préalables. Cette construction du discret serait la racine du comptage exact »Lettre du laboratoire de psychologie expérimental et quantitatif, Résumé de la conférence de Bideaud J. lors 13 mars 2001, , ;..