Le rayon de convergence d'une série entière est le nombre réel positif ou égal à la borne supérieure de l'ensemble des modules des nombres complexes où la série converge (au sens classique de la convergence simple):
Propriétés Si est le rayon de convergence d'une série entière, alors la série est absolument convergente sur le disque ouvert de centre et de rayon . Ce disque est appelé disque de convergence. Cette convergence absolue entraine ce qui est parfois qualifié de convergence inconditionnelle : la valeur de la somme en tout point de ce disque ne dépend pas de l'ordre des termes. Par exemple, on a :
, où et sont les rayons de convergence des deux séries entières (voir Produit de Cauchy).
Si la série entière a pour rayon de convergence , alors : la convergence est même normale (donc uniforme) sur tout compact inclus dans ; pour tout complexe tel que , la série diverge grossièrement ; pour tout complexe tel que , la série peut soit diverger, soit converger ; l'inverse du rayon est donné par le théorème de Cauchy-Hadamard : , où désigne la limite supérieure ; si est non nul, alors la somme de la série entière est une fonction holomorphe sur , où l'on a ; si le rayon est infini, alors la série entière est appelée fonction entière.
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