En mathématiques, l'équation d'Euler ou équation de Cauchy-Euler est une équation différentielle linéaire de la forme suivante :
Elle peut être ramenée par changement de variable à une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
Résolution
Pour appliquer la théorie générale des équations linéaires, on s'intéresse dans un premier temps à l'équation homogène associée, et en se plaçant sur un intervalle où ne s'annule pas : ou . Dans le premier cas on posera le changement de variable et dans le second . On pose ensuite . Grâce à ces changements de variables, l'équation différentielle d'Euler est alors ramenée à une équation différentielle à coefficients constants, en , qu'on peut résoudre explicitement.
Résolution pour le cas du second ordre
Un cas commun de l'équation de Cauchy est celui du second ordre (n=2), qui apparaît dans plusieurs problèmes physiques comme la résolution de l'équation de Laplace en coordonnées polaires. On peut donc ramener l'équation à la forme
On cherche donc une solution simple de la forme
et il faut dès lors trouver les valeurs de m vérifiant
La recherche des solutions m de l'équation du second degré
amène classiquement à trois cas :
deux racines réelles distinctes m1 et m2 ; une racine double m ; deux racines complexes conjuguées .
Le cas 1 donne une solution de la forme
Le cas 2 donne
Le cas 3 donne une solution de la forme
avec c, c ∈ ℝ .
Crédit d'auteurs
Euler