vignette|Arbre de probabilité de trois lancers successifs d'une pièce équilibrée
En probabilité élémentaire, un arbre de probabilité est un schéma permettant de résumer une expérience aléatoire connaissant des probabilités conditionnelles.
Ces arbres sont abondamment utilisés en théorie de la décision.
Exemples Forage pétrolier Un exploitant de pétrole veut effectuer un forage où l'on suppute la présence de pétrole avec une probabilité connue.
Si on effectue un test, cette probabilité pourra être rectifiée à une valeur encore inconnue. Le test est coûteux mais peut éviter de forer un puits sec. En revanche, la réussite du test n'implique pas avec certitude que le puits ne sera pas sec.
Doit-on effectuer le test ? Doit-on forer sans effectuer le test ?
Jeu de dés et tirage
On cherche à résumer l'expérience aléatoire suivante : On lance un dé Si le numéro obtenu est un multiple de 3, on extrait au hasard une boule dans l'urne 1 qui contient 3 boules noires, 4 boules blanches et 3 boules rouges Si le numéro obtenu n'est pas un multiple de 3, on extrait une boule dans l'urne 2 qui contient 3 boules noires et 2 boules blanches.
La première étape est de définir un univers = « le lancer conduit à tirer dans l'urne 1 » = « le lancer conduit à tirer dans l'urne 2 » On a donc et puis .
Pour la seconde étape, on traduit ce qui se passe quand on tire dans l'urne 1 ou l'urne 2. Le tirage dans l'urne 1 permet de définir des probabilités conditionnelles
.
De même, le tirage dans l'urne 2 permet de définir des probabilités 3/5 et 2/5.
L'expérience se résume alors dans l'arbre suivant : alt=arbre de probabilité relatif à l'exemple du dé et des boules|centré
On a alors: Probabilité de tirer dans l'urne 1 et d'obtenir une noire :
Probabilité de tirer dans l'urne 2 et d'obtenir une noire :
La probabilité de tirer une boule noire est alors :
Choix d'un chemin Un homme peut aller au travail par deux chemins A ou B. La probabilité qu'il emprunte le chemin A est de 0,4. S'il emprunte le chemin A, la probabilité qu'il soit en retard est de 0,2. S'il emprunte le chemin B, la probabilité qu'il soit en retard est de 0,6. Soit l'événement "Il est en retard" et le complémentaire de .
On en déduit les probabilités "La probabilité qu'il emprunte le chemin A est de 0,4." : . Comme il n'y a que deux chemins possibles alors . "S'il emprunte le chemin A, la probabilité qu'il soit en retard est de 0,2." : . La probabilité qu'il ne soit pas en retard sachant qu'il a pris le chemin A est donc le complémentaire . "S'il emprunte le chemin B, la probabilité qu'il soit en retard est de 0,6." : De la même manière, .
Définitions et propriétés
On nomme arbre de probabilité un graphe orienté et pondéré obéissant aux règles suivantes La somme des pondérations (ou probabilités) des branches issues d'un même sommet donne 1. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent. La pondération de la branche allant du sommet A vers le sommet B est la probabilité conditionnelle de B sachant que A est déjà réalisé .
On utilise alors la propriété de la probabilité conditionnelle : (produit des chemins).
Ainsi que la formule des probabilités totales: si , ,..., définit une partition de (ensembles deux à deux disjoints dont l'union donne ), si les sont de probabilité non nulle, et si A est un événement de Ω,
L'arbre de probabilité facilite aussi l'utilisation du théorème de Bayes :
Dans l'illustration précédente, on peut répondre à la question : « Sachant que l'on a tiré une noire, quelle est la probabilité que l'on ait tiré dans l'urne 1 ? »
Notes
Voir aussi Articles connexes Probabilité Probabilités (mathématiques élémentaires)
Liens externes 3 exercices interactifs progressifs corrigés sur les arbres de probabilités un logiciel pour générer des arbres de probabilités (png/svg/pdf)
Catégorie:Conditionnement en probabilités