En géométrie, un solide d'Archimède est un polyèdre convexe semi-régulier, fortement symétrique, composé de deux ou trois sortes de polygones réguliers se rencontrant à des sommets identiques. Ils sont distincts des solides de Platon, qui sont composés d'une seule sorte de polygones se rencontrant à des sommets identiques, et des solides de Johnson, dont les faces polygonales régulières ne se rencontrent pas à des sommets identiques. La symétrie des solides d'Archimède exclut les membres du groupe diédral, les prismes et les antiprismes.
Les solides d'Archimède peuvent tous être construits via les constructions de Wythoff à partir des solides de Platon avec les symétries , octaédrique et icosaédrique. Voir polyèdre uniforme convexe.
Origine du nom Les solides d'Archimède tirent leurs noms du mathématicien grec Archimède, qui les étudia dans un ouvrage actuellement perdu. Pendant la Renaissance, les artistes et les mathématiciens ont évalué les formes pures et ont redécouvert toutes ces formes. Cette recherche fut complétée aux alentours de 1619 par Johannes Kepler, qui définit les prismes, les antiprismes et les solides réguliers non-convexes connus sous le nom de solides de Kepler-Poinsot. Classification Il existe 13 solides d'Archimède (15 si l'on compte l'image chirale (dans un miroir) de deux solides énantiomorphes, décrits plus précisément ci-dessous). Dans cette table, la configuration de sommet fait référence au type de polygones réguliers que l'on rencontre à un sommet donné quelconque (symbole de Schläfli). Par exemple, une configuration de sommet de (4,6,8) signifie qu'un carré, un hexagone et un octogone se rencontrent à un sommet (avec l'ordre pris dans le sens horaire autour du sommet). Un quatorzième solide, la gyrobicoupole octogonale allongée, répond « presque » à la définition, en ce que tous ses sommets ont la même configuration de sommet, mais il n'est pas semi-régulier. Enfin, les familles infinies des prismes et des antiprismes ne sont généralement pas comptées comme solides d'Archimède, leur groupe de symétrie se réduisant à un groupe diédral.
Le nombre de sommets est 720° divisé par le au sommet.
Nom SolideFaces Arêtes Sommets nombre d'arêtes par sommet Configurationde sommet Groupede symétrie Graphe squelette Tétraèdre tronqué 100px|Tétraèdre tronqué 8 4 triangles4 hexagones 18 12 3 3.6.6 Td Graphe tétraédrique tronqué Cube tronquéou hexaèdre tronqué 100px|Cube tronqué 14 8 triangles6 octogones 36 24 3 3.8.8 Oh Graphe hexaédrique tronqué Octaèdre tronqué 100px|Octaèdre tronqué 14 6 carrés8 hexagones 36 24 3 4.6.6 Oh Graphe octaédrique tronqué Dodécaèdre tronqué 100px|Dodécaèdre tronqué 32 20 triangles12 décagones 90 60 3 3.10.10 Ih Graphe dodécaédrique tronqué Icosaèdre tronquéou Buckyballou ballon de foot 100px|Icosaèdre tronqué 32 12 pentagones20 hexagones 90 60 3 5.6.6 Ih Graphe icosaédrique tronqué Cuboctaèdre 100px|Cuboctaèdre 14 8 triangles6 carrés 24 12 4 3.4.3.4 Oh Graphe cuboctaédrique Cube adouci(2 formes chirales) 100px|Cube adouci (Sah) 100px|Cube adouci (Sh) 38 32 triangles6 carrés 60 24 5 3.3.3.3.4 O Graphe cuboctaédrique adouci Icosidodécaèdre 100px|Icosidodécaèdre 32 20 triangles12 pentagones 60 30 4 3.5.3.5 Ih Graphe icosidodécaédrique Dodécaèdre adouci(2 formes chirales) 100px|Dodécaèdre adouci (Sah)100px|Dodécaèdre adouci (Sh) 92 80 triangles12 pentagones 150 60 5 3.3.3.3.5 I Graphe dodécaédrique adouci Petit rhombicuboctaèdre 100px|Petit rhombicuboctaèdre 26 8 triangles18 carrés 48 24 4 3.4.4.4 Oh Graphe rhombicuboctaédrique Grand rhombicuboctaèdre (ou 'cuboctaèdre tronqué') 100px|Grand rhombicuboctaèdre 26 12 carrés8 hexagones6 octogones 72 48 3 4.6.8 Oh Graphe cuboctaédrique tronqué Petit rhombicosidodécaèdreou rhombicosidodécaèdre 100px|Rhombicosidodécaèdre 62 20 triangles30 carrés12 pentagones 120 60 4 3.4.5.4 Ih Graphe icosidodécaédriquetronqué Grand rhombicosidodécaèdre (ou 'icosidodécaèdre tronqué') 100px|Icosidodécaèdre tronqué 62 30 carrés20 hexagones12 décagones 180 120 3 4.6.10 Ih Graphe rhombicosidodécaédrique
Le cuboctaèdre et l'icosidodécaèdre ont des arêtes uniformes et ont été appelés quasi-réguliers.
Le cube adouci et le dodécaèdre adouci sont chiraux, ils sont de deux formes, (lévomorphe et dextromorphe). Lorsqu'un objet possède plusieurs formes qui sont images miroir les unes des autres en trois dimensions, ces formes sont appelées énantiomorphes. (Cette nomenclature est aussi utilisée pour les formes de composés chimiques, voir énantiomère).
Les duaux des solides d'Archimède sont appelés les solides de Catalan. Avec les bipyramides et les trapèzoèdres, ce sont les solides à faces uniformes et sommets réguliers.
Notes et références
Annexes Bibliographie Robert Williams, The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, 1979 Articles connexes Polyèdre semi-régulier Polyèdre uniforme Liste des polyèdres uniformes Symétroèdre Libellus de quinque corporibus regularibus de Piero della Francesca Trattato d'abaco de Piero della Francesca
Liens externes
Archimedean Solids and Catalan Solids sur software3d.com Pictures of Archimedean Solids sur korthalsaltes.com The Uniform Polyhedra sur mathconsult.ch Virtual Polyhedra sur le site de Penultimate Modular Origami par James S. Plank, de l'université du Tennessee Interactive polyhedra en Java sur ibiblio.org
Catégorie:Polyèdre * Catégorie:Archimède