thumb|Un dodécaèdre rhombique En mathématiques, un solide de Catalan ou dual archimédien, est un polyèdre dual d'un solide d'Archimède. Les solides de Catalan ont été nommés ainsi en l'honneur du mathématicien belge Eugène Catalan qui, en 1865, fut le premier à les étudier de manière systématique et les décrire et représenter avec soin et minutie.
Les solides de Catalan sont tous convexes. Leurs faces sont uniformes mais pas leurs sommets, en raison du fait que leurs duaux archimédiens ont leurs sommets uniformes mais pas leurs faces. À la différence des solides de Platon et des solides d'Archimède, les faces des solides de Catalan ne sont pas des polygones réguliers. En revanche, les figures de sommets des solides de Catalan sont régulières, et ont des angles dièdres égaux. De plus, deux des solides de Catalan ont des arêtes uniformes : le dodécaèdre rhombique (de première espèce) et le triacontaèdre rhombique. Ceux-ci sont les duaux des deux solides d'Archimède quasi-réguliers.
Comme leurs partenaires duaux archimédiens, il existe deux solides de Catalan chiraux, ou gyroèdres : l'icositétraèdre pentagonal et l'hexacontaèdre pentagonal. Chacun d'eux a deux formes énantiomorphes. Sans compter ces versions énantiomorphes, il existe 13 solides de Catalan au total.
Nom(s) Image Dual (solide d'Archimède) Faces Arêtes Sommets Polygone de face Symétrie Angle dièdre Triakitétraèdre 100px|Triakitétraèdre Tétraèdre tronqué 12 18 8 Triangle isocèleV3.6.6 Td≈ 113° Dodécaèdre rhombique 90px|Dodécaèdre rhombique Cuboctaèdre 12 24 14 LosangeV3.4.3.4 Oh120° Triakioctaèdre 110px|Triakioctaèdre Cube tronqué 24 36 14 Triangle isocèleV3.8.8 Oh≈ 147° Tétrakihexaèdre 100px|Tétrakihexaèdre Octaèdre tronqué 24 36 14 Triangle isocèleV4.6.6 Oh≈ 143° Icositétraèdre trapézoïdal 100px|Icositétraèdre trapézoïdal Petit rhombicuboctaèdre 24 48 26 Cerf-volantV3.4.4.4 Oh≈ 138° Hexakioctaèdre 100px|Hexakioctaèdre Grand rhombicuboctaèdre 48 72 26 Triangle scalèneV4.6.8 Oh≈ 155° Icositétraèdre pentagonal(deux formes chirales) 120px|Icositétraèdre pentagonal (Sah)120px|Icositétraèdre pentagonal (Sh) Cube adouci 24 60 38 Pentagone irrégulierV3.3.3.3.4 O≈ 136° Triacontaèdre rhombique 100px|Triacontaèdre rhombique Icosidodécaèdre 30 60 32 LosangeV3.5.3.5 Ih≈ 144° Triaki-icosaèdre 100px|Triaki icosaèdre Dodécaèdre tronqué 60 90 32 Triangle isocèleV3.10.10 Ih≈ 161° Pentakidodécaèdre 100px|Pentakidodécaèdre Icosaèdre tronqué 60 90 32 Triangle isocèleV5.6.6 Ih≈ 157° Hexacontaèdre trapézoïdal 100px|Hexacontaèdre trapézoïdal Petit rhombicosidodécaèdre 60 120 62 Cerf-volantV3.4.5.4 Ih≈ 154° Hexaki icosaèdre 100px|Hexaki icosaèdre Grand rhombicosidodécaèdre 120 180 62 Triangle scalèneV4.6.10 Ih≈ 164° Hexacontaèdre pentagonal(deux formes chirales) 100px|Hexacontaèdre pentagonal (Sha)100px|Hexacontaèdre pentagonal (Sa) Dodécaèdre adouci 60 150 92 Pentagone irrégulierV3.3.3.3.5 I≈ 153°
Généralisation La notion de solides de Catalan peut être étendue aux polytopes. Ainsi, en dimension 4, on parlera de polychore de Catalan.
Références Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865. Alan Holden Shapes, Space, and Symmetry. New York: Dover, 1991. Magnus Wenninger Dual Models Cambridge, England: Cambridge University Press, 1983. Robert Williams The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc, 1979,
Liens externes Solide de Catalan – Site MathWorld Duaux archimédiens – Polyèdres en réalité virtuelle Solide de Catalan interactif en Java
Notes et références
Catégorie:Polyèdre *