En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des ensembles, le complémentaire d'une partie d'un ensemble est constitué de tous les éléments de n'appartenant pas à .
Il est noté ou (puisqu'il s'agit de la différence des ensembles et ).
Lorsque l'ensemble est considéré comme l'ensemble de référence, la notation est simplifiée en , ou encore Cette dernière notation ne doit pas être confondue avec l'adhérence de dans un contexte topologique..
Si est différent de l'ensemble vide et de , alors et forment une partition de l'ensemble .
Le cas des ensembles finis
Lorsque est un ensemble fini, la somme des cardinaux de et est égale au cardinal de : . D'où on déduit : .
Exemple Pour dénombrer les absents dans une assemblée prévue de cinquante personnes, il suffit de compter les présents. En effet, l'ensemble des personnes absentes est le complémentaire de celui des personnes présentes. Si 47 personnes sont présentes, alors il y a 50 – 47 = 3 absents.
Propriétés essentielles
L'ensemble dans lequel on travaille est noté . et sont des sous-ensembles de . . . Un élément de ne peut être à la fois dans et dans son complémentaire , un ensemble et son complémentaire sont donc des ensembles disjoints :
Tout élément de est dans ou dans le complémentaire de :
Le complémentaire du complémentaire d'un ensemble est cet ensemble lui-même (l'application « le complémentaire de... » est une involution) : . Lois de De Morgan ou Dualité : Le complémentaire de l'union de deux ensembles est l'intersection de leurs complémentaires :. Le complémentaire de l'intersection de deux ensembles est l'union de leurs complémentaires :.
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes Algèbre des parties d'un ensemble Fonction NON Négation logique Diagramme de Venn
Liens externes
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Catégorie:Théorie des ensembles