En mathématiques et en analyse : Une fonction simple est une fonction numérique dont l'image est constituée d'un nombre fini de valeurs réelles (ou éventuellement complexes) ; Une fonction étagée est une fonction simple définie sur un espace mesurable et qui est elle-même une fonction mesurable ; Une fonction en escalier est une fonction étagée définie sur l’ensemble des réels et dont les valeurs (réelles) sont constantes sur des intervalles : ce sont donc des fonctions constantes par morceaux.

Dans les trois acceptions, chacune de ces fonctions peut s'exprimer comme une combinaison linéaire (donc finie) de fonctions caractéristiques.

Ces fonctions jouent un rôle important en théorie de l'intégration : les fonctions étagées pour l'intégrale de Lebesgue ; les fonctions en escalier pour l'intégrale de Riemann et de Kurzweil-Henstock.

Propriété caractéristique commune

Pour les fonctions simples (respectivement étagée, en escalier), les propriétés suivantes découlent de la définition et de la propriété précédente :

Une fonction simple est une combinaison linéaire de fonctions caractéristiques de la forme

où est une suite finie d'ensembles et est une suite finie de valeurs dans (ou ). Parmi les diverses représentations possibles exprimées à l'aide de la relation précédente, il en existe une particulière (qualifiée de canonique) pour laquellePour une fonction en escalier, les ensembles sont l’union d'un nombre fini d'intervalles. les ensembles sont deux à deux disjoints, les valeurs sont distinctes et non nulles, si et seulement si . La somme ou le produit de deux fonctions simples, ou encore le produit d'une fonction simple par un réel (ou un complexe) sont toujours des fonctions simples. L'ensemble des fonctions simples constitue une (ou )-algèbre commutative, et a fortiori un espace vectoriel. Pour une fonction étagée, donc mesurable et définie sur un espace mesurable , les ensembles de la représentation canonique sont mesurables.

Densité des fonctions étagées

1 : soit une fonction mesurable positive. Pour tout entier naturel , est partagé en sous-intervalles définis par pour et

On définit les ensembles mesurables pour .

La suite de fonctions

est alors croissante et converge simplement vers .

2 se déduit immédiatement de 1 car les partie positive et partie négative d'une fonction mesurable sont mesurables.

3 : pour une fonction positive et bornée par , la construction élaborée sous 1 permet d'affirmer que dès que . La convergence uniforme est donc satisfaite.

Pour une fonction bornée quelconque, la décomposition présentée sous 2 permet de conclure.

Intégration d'une fonction étagée

En théorie de la mesure, définir l'intégrale d'une fonction étagée positive est l'une des premières étapes conduisant à la définition de l'intégrale par rapport à une mesure positive.

Soit un espace mesuré. Pour tout on définit

Pour une fonction étagée positive la linéarité de l'intégrale impose la relation suivante :

Pour accorder à cette relation le statut de définition, il convient de s'assurer de sa consistance en vérifiant que l'intégrale d'une fonction étagée positive est indépendante de sa représentation sous forme de combinaison linéaire de fonctions caractéristiques.

Par différence, il suffit de vérifier que

Pour tout n-uplet d'éléments égaux à ±1, notons l'intersection des , où désigne l'ensemble et désigne son complémentaire dans . Les sont donc deux à deux disjoints, chaque est la réunion de ceux pour lesquels , et sa mesure est la somme des mesures de ces . L'hypothèse

se réécrit alors

c'est-à-dire que pour tout , est vide ou est nul. On a donc bien

On vérifie ensuite que cette application est linéaire, et qu'elle est croissante (si alors ) dès que est une mesure positive.

Dans le cas particulier où est un segment réel muni de la mesure de Lebesgue, est définie en particulier sur les fonctions en escalier, et satisfait la relation de Chasles.

Intégrale d'une fonction en escalier sur un segment

Les fonctions étagées sont à la théorie de l'intégration de Lebesgue ce que les fonctions en escalier sont à l'intégration de Riemann ou de Kurzweil-Henstock.

Par exemple, dans le cas particulier où sont des intervalles contigus de même longueur , et où les sont les évaluations d'une fonction au centre des intervalles , l'expression est un cas particulier de somme de Riemann est d'ailleurs une approximation couramment utilisée pour le calcul numérique d'une intégrale, plus connue sous le nom de méthode du point milieu..

Généralement présentées sur un intervalle donné, les fonctions en escalier peuvent être prolongées par 0 sur entier, ce qui permet de s'affranchir de l'intervalle et de considérer un unique ensemble de fonctions.

Notes

Catégorie:Analyse fonctionnelle Catégorie:Théorie de l'intégration Etagee