En mathématiques, un espace est un espace vectoriel de classes des fonctions dont la puissance d'exposant est intégrable au sens de Lebesgue, où est un nombre réel strictement positif. Les espaces sont aussi appelés espaces de Lebesgue.
Identifiant les fonctions qui ne diffèrent que sur un ensemble négligeable, chaque espace est un espace de Banach lorsque l'exposant est supérieur ou égal à 1. Lorsque , l'intégrale définit une quasi-norme qui en fait un espace complet. Il existe en outre une dualité entre les espaces d'exposants et conjugués, c'est-à-dire tels que .
Les espaces généralisent les espaces des fonctions de carré intégrable, mais aussi les espaces de suites de puissance -ième sommable.
Le passage à la limite de l'exposant aboutit à la construction des espaces de fonctions bornées.
Diverses constructions étendent encore cette définition à l'aide de distributions ou en se contentant d'une intégrabilité locale.
Tous ces espaces constituent un outil fondamental de l'analyse fonctionnelle en permettant la résolution d'équations par approximation avec des solutions non nécessairement dérivables ni même continues.
Définition Exposant fini La norme sur l'espace vectoriel de dimension finie s'étend aux fonctions continues sur un segment par
et plus généralement aux fonctions mesurables sur un espace mesuré et à valeurs réelles ou complexes et de puissance intégrable par :
Sur un domaine d'un espace euclidien, la mesure est en général celle de Lebesgue.
Or une fonction positive est d'intégrale nulle si et seulement si elle s'annule presque partout, c'est-à-dire sur le complémentaire d'un ensemble négligeable. L'espace est alors défini comme quotient de l'espace des fonctions mesurables intégrables, souvent noté : , par le sous-espace vectoriel des fonctions presque partout nulles. Ce quotient identifie donc les fonctions qui sont dans la même classe pour la relation d'équivalence « f ~ g » ssi « f et g sont égales presque partout ».
Dans le cadre de la théorie de Riemann, l'espace peut aussi se définir par un procédé de complétion.
Exposant infini
L'espace est défini comme l'espace vectoriel des fonctions μ-essentiellement bornées (c'est-à-dire les fonctions bornées sur le complémentaire d'un ensemble négligeable), muni de la semi-norme « borne supérieure essentielle ».
Ensuite, l'espace vectoriel normé est, comme précédemment, le quotient de par le sous-espace des fonctions nulles presque partout.
Exemples
Si X est l'ensemble des entiers naturels, muni de la tribu discrète, et que μ est la mesure de comptage, l'espace n'est autre que l'espace ℓ(N) des suites réelles dont la puissance d'exposant est sommable.
Avec muni de la tribu des boréliens et de la mesure de Lebesgue : la fonction x ↦ 1/x restreinte à est dans , mais pas dans ; la fonction indicatrice de , définie sur , qui vaut 1 en chaque nombre rationnel et 0 partout ailleurs, est dans et coïncide, dans cet espace, avec la fonction constante de valeur nulle, du fait que l'ensemble des rationnels est négligeable.
Propriétés Norme et complétude L'expression entre doubles barres donnée ci-dessus est bien positive et ne s'annule que pour la classe de la fonction nulle dans . En outre, elle est positivement homogène, c'est-à-dire que pour tout scalaire ,
Cependant, elle ne satisfait l'inégalité triangulaire que pour supérieur ou égal à 1. Les espaces pour sont des espaces de Banach, c'est-à-dire complets pour la norme ainsi définie : c'est le théorème de Riesz-Fischer, qui démontre au passage que toute suite de Cauchy dans possède une sous-suite qui converge presque partout.
Pour , ║ ║ est seulement une quasi-norme et est seulement un F-espace, c'est-à-dire un espace vectoriel topologique métrisable complet, pour une distance invariante par translations : d(f, g) = ║f – g║, mais il n'est pas localement convexe donc pas normable.
Inclusions Si la mesure est finie alors, d'après l'inégalité de Hölder ou celle de Jensen, la famille des espaces est décroissante, avec des injections continues :Il existe une réciproque forte pour les mesures σ-finies. Si les mesures des parties non négligeables sont minorées par un même réel strictement positif alors, la famille des est croissante, avec des injections continues :On a le même type de réciproque que ci-dessus : s'il existe et , avec , tels que , alors les mesures des parties non négligeables sont minorées par un même Voir par exemple and space inclusion, sur math.stackexchange.com, ou . Dans le cas où l'espace est un ensemble fini muni de la mesure de comptage, les deux conditions ci-dessus sont satisfaites et tous les espaces sont identifiés à un même espace vectoriel normé de dimension finie. À l'inverse, pour la mesure de Lebesgue, qui ne vérifie aucune des deux conditions ci-dessus, il existe des fonctions Is it possible for a function to be in for only one ?, sur math.stackexchange.com n'appartenant qu'à un seul . Dans tous les cas, et pour tout , sur l'intervalle , le logarithme de la fonction est une fonction convexe de .. L'inégalité de Tchebychev permet de prouver que pour tout et tout , on a :
Dualité
Pour et pour toute mesure, est réflexif et son dual topologique s'identifie à l'espace , où est défini de façon que .
Si la mesure est σ-finie, le dual de est et le dual de contient strictement (sauf cas triviaux).
n'est le dual d'aucun espace, tandis que est le dual de nombreux espaces, dont celui des suites de limite nulle.
L'inégalité de Hölder et son cas extrémal fournissent immédiatement un plongement isométrique J de dans . Il reste à montrer que toute forme linéaire φ sur de norme 1 est de la forme J(g) pour un certain g de .
Si , on sait que est un espace uniformément convexe donc il existe dans un vecteur unitaire f tel que φ(f) = 1D'après le théorème de James, ceci prouve déjà que est réflexif, mais ce résultat sera de toute façon conséquence du calcul de la famille des .. Pour ce f, soit g l'élément de calculé dans le cas extrémal de l'inégalité de Hölder ; par construction, son image ψ par J vérifie : ψ(f) = 1 = ║ψ║. Or, toujours par convexité uniforme, est strictement convexe donc lisse donc il existe une unique forme linéaire sur vérifiant ces conditions. On conclut que la forme linéaire φ de départ s'écrit : φ = ψ = J(g). Si = 1 : Traitons d'abord le cas où la mesure μ sur l'espace mesuré (X, A) est finie. En posant dans ce cas, pour tout E ∈ A : ν(E) = φ(1), on obtient une mesure signée ν vérifiant, pour tout E ∈ A : |ν(E)| ≤ μ(E). Le « petit » théorème de Radon-Nikodym (pour μ finie) fournit alors une fonction g ∈ (μ) telle que ν = gμ donc telle que (par limite uniforme de fonctions étagées) :De plus, d'après une propriété générale de l'intégrale de Lebesgue, |g| ≤ 1 μ-presque partout carLa fonction g ∈ (μ) appartient donc même à (μ) et la formule précédente s'étend par densité :Dans le cas où μ est finie, on a donc bien mis φ sous la forme J(g). Dans le cas général où μ est seulement σ-finie, on partitionne X en une suite de X de mesures finies et l'on construit de même sur chaque X une fonction g, nulle hors de X. Leur somme g vérifie ainsi : g ∈ (μ) et φ = J(g).
Densité et séparabilité Pour tout , les fonctions étagées appartenant à forment un sous-espace dense de .
Pour , on en déduit que : si la mesure est σ-finie et si la tribu est engendrée par un ensemble dénombrable de parties — en particulier si c'est la tribu borélienne d'un espace à base dénombrable — alors est séparable. ; si X est un espace séparé localement compact, muni de sa tribu borélienne et d'une mesure quasi-régulière, les fonctions continues à support compact forment un sous-espace dense de . ; si X est un ouvert de ℝ (muni de la tribu et de la mesure de Lebesgue), le sous-espace des fonctions infiniment dérivables et à support compact est encore dense dans ..
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Espace Espace L2 Espace de Sobolev
Espace de Birnbaum-Orlicz Mesure de Radon Produit de convolution Théorème de représentation de Riesz (Riesz-Markov) Théorème de Riesz-Thorin Transformée de Fourier
Bibliographie
Lp Lp Catégorie:Théorie de l'intégration