Le dodécaèdre adouci est un solide d'Archimède.
Il possède 92 faces dont 12 sont des pentagones et les 80 autres des triangles équilatéraux, 150 arêtes et 60 sommets. Il a deux formes distinctes, qui sont images miroir (ou énantiomorphes) l'une de l'autre. Construction
Le dodécaèdre peut être engendré en prenant les douze faces pentagonales du dodécaèdre, en les tirant vers l'extérieur de telle façon qu'aucune ne se touchent, puis en leur donnant toutes une rotation de leurs centres (toutes en sens horaire ou toutes en sens anti-horaire) jusqu'à ce que l'espace entre elles puisse être rempli par des triangles équilatéraux. centré|vignette On peut aussi l'obtenir à partir du rhombicosidodécaèdre en effectuant une rotation de ses faces pentagonales de sorte à transformer ses 30 faces carrées en 60 faces triangulaires équilatérales.
Coordonnées cartésiennes des sommets
On obtient les coordonnées cartésiennes des sommets d'un dodécaèdre adouci en prenant les permutations paires (donc les trois permutations circulaires) de
,
,
,
et
, thumb|Patron du dodécaèdre adouciavec un nombre pair de signes plus, où
et , où est le nombre d'or et est la solution réelle de , qui est le nombre . Prendre les permutations impaires des coordonnées ci-dessus, ou les mêmes permutations avec un nombre impair de signes plus, donne la forme énantiomorphe de la précédente.
Mensurations La surface totale du dodécaèdre adouci d'arête de longueur 1 est où et sont les aires respectives du triangle et du pentagone ; voir la .
Le rayon de la sphère circonscrite est où est la solution réelle de : (voir la ).
Ce polyèdre possède deux sphères inscrites, la première tangente aux faces triangulaires et l'autre, légèrement plus petite, tangente aux faces pentagonales. Leurs rayons respectifs sont :
Son volume estvoir la .
Références
Voir aussi Articles connexes
Polyèdre adouci
Liens externes
: animation montrant le dodécaèdre adouci comme passage entre l'icosaèdre et le dodécaèdre
Catégorie:Polyèdre chiral Catégorie:Polyèdre adouci Catégorie:Polyèdre uniforme Catégorie:Solide d'Archimède