Le théorème de relèvement suivant est un cas particulier du théorème général de relèvement des chemins, appliqué au revêtement du cercle par une droite, vu comme le paramétrage privilégié du cercle unité du plan complexe,
En appelant chemin toute application continue sur l'intervalle réel [0, 1] :
On dit alors que est un chemin d'origine t relevant .
Compléments
Deux relèvements de diffèrent d'un multiple entier de . Le résultat s'étend à une application sur un segment réel quelconque (par changement de variable) puis sur un intervalle réel quelconque (par réunion croissante de segments). Si est une application continue d'un intervalle dans ℂ*, on peut la mettre sous forme polaire en appliquant le théorème à . On obtient ainsi une application continue θ de dans ℝ telle queet si est de classe C alors θ aussi.
Démonstration
Cas général Remarquons d'abord que : pour tout point x de [0, 1] et tout réel t tel que (x) = p(t), il existe un « relèvement local de » (défini et continu sur un voisinage de x dans [0, 1]) prenant en x la valeur t : il suffit de choisir un voisinage sur lequel n'atteint pas la valeur –(x) et d'utiliser que p est un homéomorphisme de ]t – , t + [ dans le cercle privé du point –(x) ; si deux relèvements locaux de , définis respectivement sur deux sous-intervalles J et J de [0, 1], coïncident en un point commun, alors leur différence est nulle sur tout l'intervalle J∩J d'après le théorème des valeurs intermédiaires, puisqu'elle est nulle en ce point et ne peut prendre pour valeurs que des multiples entiers de .
L'ensemble J des réels x de [0, 1] pour lesquels possède sur [0, x] un relèvement d'origine t est donc un sous-intervalle de [0, 1] de la forme [0, c[ ou [0, c], et possède sur J un unique relèvement d'origine t.
Il reste à montrer que J = [0, 1]. Soit un relèvement local de sur un intervalle J voisinage de c dans [0, 1]. En un point arbitraire de J∩J, ce relèvement , quitte à lui ajouter un multiple adéquat de , coïncide avec ; il coïncide alors sur J∩J, ce qui permet d'étendre en un relèvement sur J∪J. Par maximalité, J contient donc J. Par conséquent, J est un voisinage dans [0, 1] de son extrémité c, ce qui prouve que c est égal à 1 et appartient à J.
Si l'application est de classe Ck On suppose avec . Alors par analyse-synthèse, si , on a nécessairement :, ce qui implique que . On vérifie alors que définit bien un relèvement de et qu'elle est de classe sur .
Articles connexes Propriété de relèvement des homotopies Propriété de prolongement des homotopies Degré d'une application Indice (analyse complexe) Logarithme complexe
Relevement