Le produit vide est le résultat d'une multiplication d'aucun nombre. En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, la convention établit le résultat de cette opération à 1 pour les produit sur les nombres réels.
Définition Soit un magma unifère noté , un ensemble munit d'une loi de composition interne et possédant un élément neutre . On dit que est la composition de la famille vide d'éléments de . C'est-à-dire, si est la famille vide de , on note
La composition des éléments de la famille vide de par la loi de composition interne est définie comme l'élément neutre associé à l'opération . Le cas général n'est donc pas lié uniquement au produit. En effet, si la loi de composition interne est additive, il est possible de définir la somme vide.
Exemples Nombres réels Considérons l'exemple d'un produit de nombres réels quelconques.
Dans le cas où , l'ensemble des indices pris en compte dans le produit est non-vide. Les éléments correspondants à ces indices sont donc pris en compte. Cependant si , l'ensemble des indices considérés pour le produit est vide. Aucun élément n'est incorporé dans le calcul, et la convention fixe le résultat à .
Dans un cas similaire, l'opération factorielle d'aucun nombre vaut . De même, l'opération de puissance sur aucun nombre donne , puisque cela revient à ne multiplier aucun nombre entre eux.
Produit cartésien d'ensemble Le produit cartésien d'une famille d'ensembles indexée par l'ensemble vide est le singleton dont l'unique élément est la fonction vide de dans .
Produit direct Par exemple, le produit direct vide (à un isomorphisme près) de groupes est (à un isomorphisme près) le groupe trivial, puisque chaque groupe est isomorphe à son produit direct avec le groupe trivial
Notes et références
Articles connexes Produit mathématique Somme vide Ensemble vide Notation mathématique
Catégorie:Algèbre générale Catégorie:Multiplication Catégorie:Vide