Une méthode de Monte-Carlo, ou méthode Monte-Carlo, est une méthode algorithmique visant à calculer une valeur numérique approchée en utilisant des procédés aléatoires, c'est-à-dire des techniques probabilistes.
Les méthodes de Monte-Carlo sont particulièrement utilisées pour calculer des intégrales en dimensions plus grandes que 1 (en particulier, pour calculer des surfaces et des volumes). Elles sont également couramment utilisées en physique des particules, où des simulations probabilistes permettent d'estimer la forme d'un signal ou la sensibilité d'un détecteur. La comparaison des données mesurées à ces simulations met en évidence des caractéristiques inattendues, par exemple de nouvelles particules.
La méthode de simulation de Monte-Carlo permet aussi d'introduire une approche statistique du risque dans une décision financière. Elle consiste à isoler des variables clés du projet, telles que le chiffre d'affaires ou la marge, et à leur affecter une loi de probabilités. Pour chacun de ces facteurs, un grand nombre de tirages aléatoires, suivant les lois de probabilité déterminées précédemment, est effectué, afin de trouver la probabilité d'occurrence de chacun des résultats. À titre d'exemple, le choix de mode de gestion d'une collectivité territoriale dans le cadre d'un partenariat public-privé (PPP) peut s'analyser par la méthode de Monte-Carlo, afin de prendre en compte la répartition des risques entre acteurs publics et privés. On parle alors de « risques valorisés » ou « valeurs à risque ».
Le véritable développement des méthodes de Monte-Carlo s'est effectué sous l'impulsion de John von Neumann et Stanislaw Ulam notamment, lors de la Seconde Guerre mondiale, et des recherches sur la fabrication de la bombe atomique. Ils ont en particulier utilisé ces méthodes probabilistes pour résoudre des équations aux dérivées partielles dans le cadre de la Monte-Carlo N-Particle transport (MCNP).
Le nom de ces méthodes, qui fait allusion aux jeux de hasard pratiqués au casino de Monte-Carlo, a été inventé en 1947 par Nicholas Metropolis., et apparaît pour la première fois en 1949 dans un article coécrit avec Stanislaw Ulam..
Théorie De manière générale, le problème que l'on cherche à résoudre par les méthodes de Monte-Carlo est celui de l'estimation de l'espérance d'une variable aléatoire , que l'on note généralement .
La méthode de Monte-Carlo la plus simple consiste à générer un échantillon de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (iid) suivant la même loi que . Ensuite on estime l'espérance avec l'estimateur, dit de Monte-Carlo ou encore de la moyenne empirique,
Ainsi est censé être une bonne approximation de la valeur que l'on recherche, à savoir . Cet estimateur est non biaisé dans le sens où . Ce qui justifie la pertinence de cet estimateur est la loi forte des grands nombres qui nous dit que, si admet une espérance finie (ce qui est en pratique très souvent le cas puisque l'on cherche justement à estimer cette espérance qui a priori est finie), alors on a la convergence presque sûre lorsque la taille de l'échantillon tend vers l'infini.
Il est même possible de connaître l'ordre de grandeur de l'erreur commise par cet estimateur grâce au théorème central limite. En effet, si admet une variance finie , alors le théorème central limite nous dit que la convergence
a lieu en loi quand tend vers l'infini, où désigne une loi normale centrée réduite. On peut donc en déduire que, si admet une variance finie, alors l'erreur de l'estimateur de Monte-Carlo est de l'ordre de et l'on voit bien que plus la taille de l'échantillon est grande, plus l'erreur se rapproche de zéro. Par exemple, multiplier par 100 la taille de l'échantillon devrait, à peu près, diviser par 10 l'erreur commise.
En utilisant le théorème central limite, on peut déduire des intervalles de confiance asymptotiques pour l'estimateur de Monte-Carlo. Soit un réel qui correspond au niveau de confiance désiré et notons le quantile d'ordre de la loi normale centrée réduite. C'est-à-dire que, si alors (par exemple pour on a ). Alors on a la convergence
lorsque tend vers l'infini. Il faut garder en tête que cet intervalle de confiance est bien asymptotique et pas exact car il repose sur le théorème central limite qui est un résultat de convergence et non une égalité. En pratique, on connaît rarement la variance de ce qui est gênant dans le calcul de l'intervalle de confiance asymptotique ci-dessus. On peut résoudre ce problème en approximant cette variance via l'estimateur
Encore une fois, par la loi forte des grands nombres, cet estimateur converge vers la variance lorsque cette dernière est finie.
Il est à noter que pour appliquer la méthode de Monte-Carlo décrite ci-dessus, il est supposé qu'il est possible de générer des variables aléatoires suivant la loi de . En pratique, cela peut constituer une difficulté à part entière, de plus il n'est pas toujours possible de générer facilement de telles variables aléatoires avec exactitude. Dans ce dernier cas, on cherchera alors à générer des variables aléatoires suivant une loi approximant au mieux la loi théorique de .
La méthode de Monte-Carlo présentée ci-dessus est l'une des versions les plus simples et épurées qui soient. Il existe de nombreuses variantes, plus précises ou plus rapides ou adaptées à d'autres circonstances, dont certaines sont mentionnées dans la section dédiées plus bas.
Applications
Estimer l'aire d'une surface ou un volume Une grande catégorie de problèmes pouvant se résoudre par l'approche de Monte-Carlo est celle de l'estimation de l'aire d'une surface ou plus généralement d'un volume en dimension quelconque. Le principe général consiste à générer des points uniformément au hasard dans une zone bornée mais assez large pour contenir la surface ou le volume à estimer. Ensuite, il suffit de compter le nombre de points tombant dans la surface ou le volume et de diviser par le nombre total de points générés pour estimer l'aire ou le volume. Quelques exemples sont présentés ci-dessous.
Détermination de la superficie d'un lac Cet exemple est un classique en vulgarisation de la méthode de Monte-Carlo. Soit une zone rectangulaire ou carrée dont les côtés sont de longueur connue. Au sein de cette aire se trouve un lac dont la superficie est inconnue. Grâce aux mesures des côtés de la zone, on connaît l'aire du rectangle. Pour trouver l'aire du lac, on demande à une armée de tirer coups de canon de manière aléatoire sur cette zone. On compte ensuite le nombre de boulets qui sont restés sur le terrain ; on peut ainsi déterminer le nombre de boulets qui sont tombés dans le lac : . Il suffit ensuite d'établir un rapport entre les valeurs :
Par exemple, si le terrain fait , que l'armée tire 500 boulets et que 100 projectiles sont tombés dans le lac, alors une estimation de la superficie du plan d'eau est de : 1000×100÷500 = .
La qualité de l'estimation s'améliore (lentement) en augmentant le nombre de tirs et en s'assurant que les artilleurs ne visent pas toujours le même endroit mais couvrent bien la zone, de manière uniforme. Cette dernière remarque est à mettre en parallèle avec la qualité du générateur aléatoire qui est primordiale pour avoir de bons résultats dans la méthode de Monte-Carlo. Un générateur biaisé est comme un canon qui tire toujours au même endroit : les informations qu'il apporte sont réduites.
Détermination de la valeur de Cette méthode est proche de l'expérience de l'aiguille de Buffon.
Soit un point M de coordonnées , où et . On tire aléatoirement les valeurs de et entre 0 et 1 suivant une loi uniforme. Le point M appartient au disque de centre (0,0) de rayon si et seulement si . La probabilité que le point M appartienne au disque est , puisque le quart de disque est de surface , et le carré qui le contient est de surface : si la loi de probabilité du tirage de point est uniforme, la probabilité de tomber dans le quart de disque vaut .
En faisant le rapport du nombre de points dans le disque au nombre de tirages, on obtient une approximation du nombre si le nombre de tirages est grand.
Calcul d'une intégrale L'intégrale d'une fonction correspond à l'aire algébrique sous sa courbe. Estimer l'intégrale d'une fonction revient donc à estimer l'aire d'une surface et on peut donc appliquer une méthode de Monte-Carlo.
Par exemple supposons que l'on veuille estimer l'intégrale suivante
où est une fonction continue. Cette intégrale peut être vue comme une espérance. En effet, soit une variable aléatoire de loi uniforme sur , alors par la formule du transfert on a
On peut alors appliquer une méthode simple de Monte-Carlo et générer variables aléatoires iid uniformément au hasard dans et approximer l'intégrale ci-dessus par Ce procédé peut s'appliquer à une intégrale en dimension quelconque et pas nécessairement en dimension une comme ici. D'ailleurs en grande dimension, les méthodes de Monte-Carlo sont bien plus efficaces que d'autres méthodes classiques comme celle des sommes de Riemann par exemple.
Recouvrement de courbes et méthode contrainte-résistance vignette|redresse=1.2|Méthode contrainte-résistance : la fréquence de défaillance correspond à l'aire sous l'intersection des courbes rouge et bleue (haut).
La méthode de Monte-Carlo peut être utilisée pour déterminer l'aire sous l'intersection de deux courbes, qui n'est qu'une surface particulière.
Les courbes peuvent être les courbes représentatrices des densités de probabilité de deux lois. C'est par exemple utilisé dans la méthode contrainte-résistance : un système est soumis à une contrainte — une sollicitation quelle qu'elle soit (effort mécanique, variation de température, passage de courant électrique, …) — dont l'intensité est une variable aléatoire S ; le système est conçu pour résister à cette contrainte, sa résistance est exprimée par une valeur, une variable aléatoire R ; le système est validé si la résistance est supérieure à la contrainte — R > S — dans un certain nombre de cas (typiquement 99 % ou 99,9 %). La probabilité complémentaire — les cas de défaillance, celle pour laquelle R ≤ S — est l'aire sous l'intersection des deux courbes représentant les lois.
On peut déterminer la probabilité P(R > S) en faisant des tirages aléatoires sur R et S et en dénombrant les cas pour lesquels « R > S » est vrai.
Application au modèle d'Ising
Estimation de la valeur d'un coup aux échecs Aux échecs, comme dans beaucoup de jeux de plateau, il est possible de mesurer la valeur d'une position, et donc des coups y conduisant, en évaluant quantitativement la position obtenue : nombre de pièces sur l'échiquier, valeurs des pièces (1 point par pion, 5 par tour...), position relative des pièces entre elles, et en pondérant la valeur trouvée par les libertés, les protections des pièces, etc. Cette évaluation basée sur l'analyse et l'expertise est d'autant plus rapide à mesurer qu'on avance dans la partie, car le nombre de pièces diminue.
Parfois, pour savoir si un coup ambigu doit être fait (échange de pièces par exemple), lorsqu'on manque d'information, ou pour choisir entre plusieurs coups menant tous à des pertes de matériel, il est possible de lancer plusieurs parties rapides au hasard, pour savoir quelle est la moins mauvaise ou la meilleure des solutions.
Estimation de la valeur d'un coup au go