En mécanique quantique, le principe d'incertitude ou, plus correctement, principe d'indétermination, aussi connu sous le nom de principe d'incertitude de Heisenberg, désigne toute inégalité mathématique affirmant qu'il existe une limite fondamentale à la précision avec laquelle il est possible de connaître simultanément deux propriétés physiques d'une même particule ; ces deux variables dites complémentaires peuvent être sa position (x) et sa quantité de mouvement (p).

Plus précisément, il établit que le produit de l'incertitude sur ces deux valeurs est toujours supérieur ou égal à une certaine constante :

Cette limite s'applique principalement aux objets microscopiques et devient négligeable pour les objets macroscopiques.

Ce principe est une conséquence mathématique de la dualité onde-corpuscule de la matière et de la représentation des corpuscules sous forme de paquet d'onde. Les propriétés mathématiques des ondes impliquent qu'on peut représenter ce paquet, de manière strictement équivalente, selon une distribution de fréquences (un spectre, et donc une distribution d'énergie) ou une distribution de positions dans l'espace. Le passage de l'un à l'autre se calcule par une transformée de Fourier. Il s'avère que, mathématiquement, plus une de ces représentations est précise, plus l'autre est imprécise.

Présenté pour la première fois en 1927 par le physicien allemand Werner Heisenberg, le principe énonce que toute amélioration de la précision de mesure de la position d’une particule se traduit par une moindre précision de mesure de sa vitesse et vice-versa. Mais cette formulation peut laisser entendre que la particule possède réellement une position et une vitesse précises avant la mesure, que la mécanique quantique empêche de mesurer, ce qui n'est en fait pas le cas.

Pour limiter ces incompréhensions liées à la terminologie, le nom de « principe d'indétermination » est parfois préféré car le principe ne porte pas sur l'ignorance « subjective » ou technique de grandeurs par l'expérimentateur, mais bien sur une impossibilité fondamentale de les déterminer, et même sur le fait que le concept de grandeur précise n'a pas de sens physique.

Histoire

Le principe est énoncé pour la première fois en 1927 par le physicien allemand Werner Heisenberg. Dans ses mémoires, le physicien relate ainsi sa découverte :

L'inégalité formelle reliant l'écart type de la position et l'écart type de la quantité de mouvement a été établie par Earle Hesse Kennard plus tard la même année et par Hermann Weyl en 1928 :

où est la constante de Planck réduite, égale à . La quantité de mouvement étant le produit de la masse et la vitesse , cette relation peut aussi être écrite

Cette forme met en évidence que le produit des deux écarts types est important surtout pour les particules microscopiques qui ont de petites masses. Pour les objets macroscopiques de masse grande, le produit peut devenir négligeable, de sorte que leur mouvement est bien décrit par la mécanique newtonienne.

Le principe d'incertitude est souvent appelé principe d'indétermination. L'emploi de ces deux termes pour désigner la même notion résulte d'un problème lors de la traduction en anglais de l'article de Heisenberg. En effet, lors de la première rédaction de son article, Heisenberg emploie les termes (incertitude) et (imprécision), puis, comprenant que ces termes peuvent prêter à confusion, il décide d'utiliser finalement le terme Unbestimmtheit (indétermination). Mais l'article est déjà traduit et c'est le terme principe d'incertitude qui sera consacré..

Bien que la dénomination « principe d'incertitude » soit la plus usitée, il est nécessaire de parler de « principe d'indétermination ». Le terme de « principe » est aussi considéré comme inapproprié, quoique souvent encore usité. Il conviendrait de parler de « relations » d'incertitude, ou mieux, de relations d'indétermination, étant donné que ces relations sont parfaitement justifiées du point de vue mathématiquePour une critique de cette question et d'autres problèmes de terminologie en physique quantique, voir aussi : ..

En raison des connotations philosophiques du terme de « principe », aujourd'hui, les physiciens parlent davantage des . ou des .., au pluriel car il s'agit d'une inégalité portant sur tout couple de grandeurs physiques dont le produit a la dimension d'une action...

Conséquences À la suite de la confirmation expérimentale de la dualité onde-corpuscule, un objet quantique devait posséder à la fois une fréquence et un vecteur d'onde, et donc avoir une certaine extension en espace et en temps : il ne peut ainsi être ni parfaitement localisé, ni avoir une énergie parfaitement définie.

Ceci fait suite aux travaux de Planck, Einstein et de Broglie qui ont validé la nature quantique de la matière en donnant l'équivalence entre des propriétés ondulatoires (fréquence et vecteur d'onde) et corpusculaires (énergie et impulsion) selon les lois : et .

Le principe d'indétermination énonce donc, contrairement à la mécanique classique, que pour une particule donnée, il est impossible de connaître simultanément sa position et sa vitesse exactes selon une formule de proportionnalité.

Si par contre, on renonce à considérer la particule comme objet corpusculaire défini par des valeurs scalaires (position, vitesse, etc), mais ayant une certaine extension dans l'espace, il est possible de la représenter par une fonction décrivant sa distribution spatiale. Toute l'information relative à une particule est alors contenue dans une fonction d'onde.

Les mesures scalaires effectuées sur cette particule consistent à extraire seulement une partie de cette information, par l'intermédiaire d'opérateurs mathématiques.

Particules microscopiques et objets macroscopiques La relation entre les écarts types de position et de vitesse

met en évidence que le produit des deux écarts types est important surtout pour les particules microscopiques qui ont de petites masses. Un électron, par exemple, présentant une incertitude sur sa position de , soit 1 % du rayon de Bohr de l'atome d'hydrogène, aura sa vitesse connue seulement avec une incertitude de .. Cette valeur énorme est comparable à la vitesse de la lumière et implique qu'on n'a aucune idée réelle de la vitesse de cet électron. Pour les objets macroscopiques de masse grande, en revanche, le produit est négligeable, de sorte que leur mouvement est bien décrit par la mécanique newtonienne.

Relations de Heisenberg

Considérons une particule massive non relativiste se déplaçant sur un axe.

Description classique

La mécanique classique de Newton affirme que la dynamique de la particule est entièrement déterminée si l'on connaît à chaque instant sa position et sa quantité de mouvement , deux grandeurs physiques à valeurs réelles. Le couple définit l’espace des phases de la particule. Toute grandeur physique est représentable par une fonction réelle. Cette théorie est conforme au principe de non-contradiction d'Aristote, selon lequel deux affirmations contradictoires ne peuvent être vraies en même temps. À un moment donné, la particule est ou n'est pas en un endroit donné. Du point de vue mathématique, l'état de la particule est décrit par un nombre fini de grandeurs scalaires.

Description quantique

En mécanique quantique, la valeur précise des paramètres physiques tels que la position ou la vitesse n'est pas déterminée tant qu'elle n'est pas mesurée. Seule la distribution statistique de ces valeurs est parfaitement déterminée à tout instant. Cela peut mener au point de vue (qui est un abus de langage) selon lequel un objet quantique pourrait être « à plusieurs endroits en même temps ». Un point de vue plus juste consiste à dire que l'objet quantique n'a pas de localisation tant que la position n'est pas mesurée.

Cela dit, le paradoxe n'est qu'apparent. Il vient du fait que les grandeurs scalaires classiques sont insuffisantes pour décrire la réalité quantique. On doit faire appel à des fonctions d'onde qui sont des vecteurs appartenant à un espace de Hilbert de dimension infinie.

Les grandeurs classiques ne sont donc en fait que des vues partielles de l'objet, potentiellement corrélées.

Notion d'observable

Une grandeur physique, appelée une observable, n'est plus une fonction réelle, mais est représentée par un opérateur hermitien agissant sur un espace de Hilbert . La valeur de cette grandeur physique est l'une des valeurs propres réelles de cet opérateurOn note la valeur propre associée au vecteur propre . Par souci de simplification, on néglige ici la notion de multiplicité des valeurs propres. :

.

Si l'état du système à l'instant de la mesure est un vecteur de l'espace , alors ce vecteur admet la décomposition :

où les sont des nombres complexes.

Interprétation probabiliste

Le nombre complexe permet de calculer la probabilité d'obtenir la valeur :

.

La mesure de la grandeur est une variable aléatoire (v.a.) avec une espérance et un écart type Plus généralement, tous les moments peuvent être définis.. La mesure est donc de nature probabiliste, ce qui implique beaucoup de paradoxes apparents en logique aristotélicienne. L'un d'entre eux a été immédiatement remarqué par Heisenberg : l'opérateur position et l'opérateur quantité de mouvement ne commutent pas. En effet, leur commutateur vaut :

.

Alors il n'est pas possible de mesurer simultanément ces deux grandeurs observables qui sont dites complémentairesP. Atkins et J. de Paula, Chimie physique, française, de Boeck, 2008, .. La notion d'espace des phases disparaît en mécanique quantique, et l'objet quantique est en fait complètement décrit par sa fonction d'onde. Les grandeurs scalaires utilisées en physique classique sont insuffisantes et inadéquates.

L'évolution déterministe de Newton est remplacée par une équation d'évolution déterministe de Schrödinger, permettant de prédire de façon certaine l'évolution temporelle des fonctions d'onde (dont le module carré est la probabilité, la phase n'étant pas connue a priori).

Inégalité de Heisenberg

Des mesures répétées de la position et de l'impulsion donneront des résultats en général différents à chaque mesure : chaque échantillon de valeurs sera caractérisé par un écart type : pour la position, et pour l'impulsion. Le théorème de Heisenberg démontre que : , où est la constante de Planck réduite. Cette notion est fréquemment vulgarisée par des phrases du type : « Il est impossible de connaître à la fois la position et la quantité de mouvement d’un objet de manière précise ». En effet, si par exemple la position d'une particule est exactement connue, la dispersion en position est identiquement nulle : . L'inégalité de Heisenberg implique alors que  : la dispersion en impulsion doit être maximale. Plus précisément, une inégalité analogue existe entre une fonction et sa transformée de Fourier, connue elle aussi sous le nom de principe d'incertitude.

Difficulté d'interprétation

Exemples

Cette corrélation d'incertitudes est parfois expliquée de manière erronée en affirmant que la mesure de la position modifie obligatoirement la quantité de mouvement d'une particule. Heisenberg offre initialement cette explication en 1927. Cette modification ne joue aucun rôle, car le théorème s'applique même si la position est mesurée dans une copie du système, et la quantité de mouvement dans une autre copie, parfaitement identique.