vignette|redresse=1|Symboles mathématiques des deux quantificateurs logiques les plus courants : Ǝ (« il existe ») et Ɐ (« pour tout »).

En mathématiques, les expressions « pour tout » (ou « quel que soit ») et « il existe », utilisées pour formuler des propositions mathématiques dans le calcul des prédicats, sont appelées des quantifications. Les symboles qui les représentent en langage formel sont appelés des quantificateurs (ou autrefois des quanteurs..).

Quantification universelle

La quantification universelle (« pour tout … » ou « quel que soit … ») se dénote par le symbole (un A à l'envers).

Exemple La phrase notée symboliquement :

se lit :

et signifie : « tout objet du domaine considéré possède la propriété ».

La notation « » a été utilisée pour la première fois Jeff Miller, , septembre 2010 (Premiers usages des symboles logiques dans la théorie des ensembles).Jacques Herbrand utilise, en 1930, la notation dans sa thèse . par Gerhard Gentzen en 1933 (publié en 1934.). Le mot allemand signifiant « tout », il propose un . Gentzen indique qu'il a choisi comme « symbole pour tout » () le A renversé par analogie avec le symbole « » pour le quantificateur existentiel qu'il tient de Russell (qui lui-même l'a emprunté à Peano)..

Quantification existentielle

La quantification existentielle (« il existe un ... » au sens « il existe au moins un ... ») se note avec le signe (le symétrique axial d'un E, c'est-à-dire, la lettre Ə majuscule). Plus précisément,

signifie (un objet au moins du domaine considéré possède la propriété ). Pour exprimer l'unicité en plus de l'existence, le signe utilisé est (le quantificateur existentiel suivi d'un point d'exclamation), plus précisément,

signifie , ou encore (un objet exactement du domaine considéré possède la propriété ).

Ce dernier quantificateur se définit en calcul des prédicats égalitaire à partir des deux quantificateurs précédents (et de l'égalité), par exemple par

La notation a tout d'abord été employée par Giuseppe Peano en 1897 dans le volume II de son Formulaire de mathématiquesG. Peano, Formulaire de mathématiques, Tome II, Logique mathématique (1897) ∃. avec une syntaxe différente, le signe étant directement associé au prédicat ( pour notre ). Bertrand Russell l'utilise le premier de la façon actuelle, comme lieur de variable.

Ordre des quantificateurs

Pour une formule mise en forme prénexe, l'ordre des quantificateurs entre chaque bloc de quantificateurs identiques (donc bloc de quantificateurs existentiels ou bloc de quantificateur universels) est indifférent, la formule restant la même. Par contre, l'alternance des blocs de quantificateurs existentiels ou universels donne des formules bien distinctes dont la complexité logique s'observe notamment dans la hiérarchie arithmétique.

Quantificateurs en théorie des jeux Quantificateur ⅁ Le signe majuscule G culbuté sans empattement ou signe majuscule G réfléchi sans empattement ⅁, est un quantificateur utilisé en théorie des jeux....

Il a la forme d’un G majuscule réfléchi, notamment dans les polices TeX de l’American Mathematical Society, mais a normalement la forme d’un G majuscule culbutéPar exemple dans Moschovakis 1980., notamment dans les polices .

Il est particulièrement utilisé dans le contexte de jeu infini ou de jeu à information parfaite.

Par exemple :

représente un jeu G avec une stratégie ;

représente un jeu infini ;

représente un jeu avec des règles et un objectif .

Déduction naturelle

En déduction naturelle, Gerhard Gentzen présente les deux quantificateurs de la manière suivante. :

Règles d'introductionRègles d'éliminationpour toutil existe

Exemples

Si l'on prend un groupe de chats noirs, on peut dire que quel que soit le chat que l'on choisit dans ce groupe, il sera noir :

Si, dans un groupe de chats noirs, il y a quelques chats blancs ( un seul), on peut dire qu'il existe un ( un unique) chat de couleur blanche dans ce groupe :

Représentation des quantificateurs en Unicode, HTML et LaTeX

Symbole Unicode HTML LaTeX pour tout ∀ U+2200. ∀Cf. Table de symboles mathématiques (Chevrons et angles). \forall il existe ∃ U+2203. ∃Cf. Croisements et symboles en traits droits. \exists

Bibliographie Voir la bibliographie de Logique mathématique.

Références

Voir aussi Théorie de la description définie de Bertrand Russell Théorie des mondes possibles Notation (mathématiques) La lettre λ du Lambda-calcul qui elle aussi lie des variables.

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