Soit une fonction définie sur un ensemble à valeurs dans la droite réelle achevée . L'épigraphe de est l'ensemble noté et défini par
Il s'agit donc de l'ensemble des points de l'ensemble produit qui sont situés au-dessus du graphe de (épi venant du grec ancien et signifiant sur, au-dessus).
L'épigraphe strict de est l'ensemble noté et défini par
Exemples d'utilisation L'épigraphe permet de transférer aux fonctions des notions définies pour les ensembles. En voici deux exemples.
Si est un espace topologique, on démontre qu'une application est semi-continue inférieurement si et seulement si son épigraphe est un fermé de l'espace topologique produit . En analyse convexe, une telle application est dite ferméeCette notion ne doit pas être confondue avec celle d'application fermée en topologie générale.. Si est un espace vectoriel réel, on dit. que est convexe si son épigraphe est un convexe de l'espace vectoriel produit .
Notes et références
Articles connexes Hypographe
Catégorie:Analyse réelle