Le théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue est un théorème d'analyse, une branche des mathématiques qui est constituée du calcul différentiel et intégral et des domaines associés.
Définitions
Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue
Le théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue est un résultat de théorie de la mesure, cependant une démonstration faisant intervenir les espaces de Hilbert a été donnée par le mathématicien John von Neumann au début du Voir par exemple pour de plus amples détails.. Il s'énonce de la façon suivante :
Propriétés de la dérivée de Radon-Nikodym La dérivée de Radon-Nikodym a les propriétés suivantes : Soient ν, μ et λ des mesures σ-finies sur le même espace mesurable. Si ν ≪ λ et μ ≪ λ (ν et μ sont toutes deux absolument continues par rapport à λ), alors
Si ν ≪ μ ≪ λ, alors
En particulier, si μ ≪ ν et ν ≪ μ, alors
Si μ ≪ λ et est une fonction μ-intégrable, alors
Densité d'une mesure
En conséquence du théorème de Radon-Nikodym, on a la propriété suivante :
L'hypothèse de σ-finitude est importante : par rapport à la mesure de comptage, une mesure est toujours absolument continue mais celle de Lebesgue sur ℝ (par exemple) n'a pas de densité.
Densité de probabilité d'un vecteur aléatoire
Au vu des définitions, le langage probabiliste diffère légèrement du langage de la théorie de la mesure. Il y a équivalence entre les trois assertions : Une variable aléatoire à valeur dans ℝ possède une densité de probabilité. La mesure possède une densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur ℝ. La mesure est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue sur ℝ. Le dernier point peut se réécrire, en langage probabiliste.
Ce critère est rarement employé dans la pratique pour démontrer que possède une densité, mais il est en revanche utile pour démontrer que certaines probabilités sont nulles. Par exemple, si le vecteur aléatoire possède une densité, alors :
car la mesure de Lebesgue (autrement dit, l'aire) de la première bissectrice (resp. du cercle unité) est nulle.
Plus généralement, la mesure de Lebesgue du graphe d'une fonction mesurable φ étant nulle, il suit que :
De même, il y a de nombreux exemples où, du fait que l'ensemble est de mesure de Lebesgue nulle, on peut conclure que :
Le critère de Radon-Nikodym peut aussi être utilisé pour démontrer qu'un vecteur aléatoire ne possède pas de densité, par exemple si :
où désigne une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur , alors ne possède pas de densité car :
Note et référence
Bibliographie
(cf. p. 127-130)
Radon Nikodym Lebesgue