En mathématiques, la théorie des catégories est l'étude des structures et de leurs relations. Ce domaine rend compte de l'abondance de caractéristiques partagées par diverses classes liées à des structures mathématiques.

Comme le mentionne Henri Cartan, En effet, une catégorie est constituée d'objets (des structures mathématiques, comme les ensembles, ou les groupes) et des flèches (les morphismes d'un objet vers un autre).

Les catégories sont utilisées dans plusieurs branches des mathématiques et dans certains secteurs de l'informatique théorique et de la physique théorique. Elles forment une notion unificatrice.

Histoire Cette théorie a été mise en place par Samuel Eilenberg et Saunders Mac Lane en 1942-1945, en lien avec la topologie algébrique, et propagée dans les années 1960-1970 en France par Alexandre Grothendieck, qui en a fait une étude systématique. À la suite des travaux de William Lawvere, la théorie des catégories est utilisée depuis 1969 pour définir la logique et la théorie des ensembles ; la théorie des catégories peut donc, comme la théorie des ensembles ou la théorie des types, avec laquelle elle a des similarités, être considérée comme fondement des mathématiquesHenri Cartan, dans le film Une vie de mathématicien qui lui est consacré, confie que Bourbaki aurait probablement commencé ses Éléments par les catégories si elles étaient apparues plus tôt..

Éléments de base

Morphismes

Voici un exemple. La classe Grp des groupes comprend tous les objets ayant une « structure de groupe ». Plus précisément, Grp comprend tous les ensembles G munis d'une opération interne qui satisfait les axiomes d'associativité, inversibilité et de l'élément neutre. Des théorèmes peuvent ainsi être prouvés en effectuant des déductions logiques à partir de ces axiomes. Par exemple, ils apportent la preuve directe que l'élément neutre d'un groupe est unique.

Au lieu d'étudier les objets (par exemple les groupes) qui possèdent une structure donnée, comme les théories mathématiques l'ont toujours fait, la théorie des catégories met l'accent sur les morphismes et les processus qui préservent la structure entre deux objets. Il apparaît qu'en étudiant ces morphismes, l'on est capable d'en apprendre plus sur la structure des objets.

Dans notre exemple, les morphismes étudiés sont les morphismes de groupes, à savoir toute application d'un groupe dans un groupe vérifiant : . L'étude des morphismes de groupes fournit un outil pour étudier les propriétés générales des groupes et les conséquences des axiomes relatifs aux groupes.

Il en est de même dans de nombreuses théories mathématiques, où l'on peut définir une classe d'objets ainsi que des applications particulières entre ces objets vérifiant certaines propriétés. Un autre exemple de catégorie est donné par la classe des espaces vectoriels, les morphismes étant les applications linéaires. Un dernier exemple est donné par la classe des espaces topologiques, les morphismes étant les applications continues. Ainsi, une catégorie est une formulation axiomatique qui relie des structures mathématiques aux fonctions qui les préservent. Une étude systématique des catégories permet de prouver des résultats généraux à partir des axiomes d'une catégorie.

Foncteurs

Une catégorie est elle-même un type de structure mathématique. Si l'on dispose de deux catégories et , il est parfois possible de définir une correspondance entre la première catégorie et la deuxième, associant à chaque objet (respectivement chaque morphisme) de la première catégorie un objet (respectivement un morphisme) de la deuxième, tout en préservant la structure de catégorie. De telles correspondances sont appelées foncteurs.

Si l'on se restreint aux petites catégories (c'est-à-dire aux catégories dont les classes d'objets et de morphismes sont des ensembles), on définit ainsi la catégorie des petites catégories Cat : ses objets sont les petites catégories, et ses morphismes sont les foncteurs.

Cette idée fondamentale de relier une classe d'objets à une autre apparut d'abord en topologie algébrique : certains problèmes topologiques complexes peuvent être traduits en questions algébriques, qui sont souvent plus faciles à résoudre. Ainsi, on peut définir un foncteur de la catégorie des espaces topologiques dans la catégorie des groupes, qui, à un espace topologique, associe son groupe fondamental. Toute propriété topologique de la première catégorie pourra se traduire par une propriété algébrique dans la deuxième catégorie et inversement.

Transformations naturelles

Par un nouvel effort d'abstraction, les foncteurs sont souvent « reliés naturellement ». C'est pourquoi l'on définit le concept de transformation naturelle, qui est une manière d'envoyer un foncteur sur un foncteur. Alors que le foncteur est un morphisme de catégories, la transformation naturelle est un morphisme de foncteurs (i.e. un morphisme dans une catégorie de foncteurs). On peut ainsi étudier de nombreuses constructions mathématiques. La « naturalité » est un principe plus profond qu'il n'en a l'air au premier regard. Saunders Mac Lane, coinventeur de la théorie des catégories, a ainsi déclaré : .

Par exemple, il existe un isomorphisme entre un espace vectoriel de dimension finie et son espace dual, mais cet isomorphisme n'est pas « naturel », dans le sens où sa définition requiert d'avoir choisi une base, dont elle dépend étroitement. En revanche, il existe un isomorphisme naturel entre un espace vectoriel de dimension finie et son espace bidual (le dual de son dual), c'est-à-dire en l'occurrence indépendant de la base choisie. Cet exemple est, historiquement, le premier formulé dans l'article fondateur de Samuel Eilenberg et Saunders Mac Lane en 1945.

Autre exemple : il existe plusieurs manières de relier par divers foncteurs les espaces topologiques à la théorie des groupes : homologie, cohomologie, homotopie… L'étude des transformations naturelles permet d'examiner comment ces foncteurs sont eux-mêmes reliés les uns aux autres.

Définitions

Catégorie Dans le langage de la théorie des classes, une catégorie est la donnéeRichard Ewen Borcherds consacre une video "Categories pour le mathématicien oisif" à exposer ces axiomes :

d'une collection d'objets ; d'une collection de morphismes (ou flèches) entre les objets.

Chaque flèche a un objet source et un objet but. Pour un morphisme f dont la source est A et le but est B, on dira qu'il s'agit d'un morphisme « de A dans B ». On note . La source A s'appelle aussi objet domaine et le but B s'appelle objet co-domaine. On suppose aussi l'existence des morphismes suivants :

chaque objet admet un morphisme , appelé identité de ou flèche unité ou flèche neutre; pour tout couple de morphismes et (i.e. le but de f est la source de g), il existe un morphisme appelé composée de et g.

Enfin, pour être une catégorie, il faut satisfaire les deux axiomes suivants :

pour tout morphisme , . pour tous morphismes , et ,

Le point 1 dit que les identités sont des éléments neutres de la composition. Le point 2 dit que la composition est associative.

On note la classe des objets de , et la classe des morphismes de . On note la classe de tous les morphismes de A dans B.

Lorsqu'une catégorie est courante, certains lui donnent comme nom l'abréviation du nom de ses objets ; nous suivrons ici cette convention.

Certains auteurs comme D. E. Rydeheard et Burstall définissent une catégorie comme un graphe orienté (plus précisément un multigraphe). Les sommets du graphe sont les objets, et les flèches sont les morphismes. De même, il arrive parfois que l'on oublie complètement les objets d'une catégorie et que l'on ne s'intéresse plus qu'aux flèches, en identifiant les objets à leurs flèches identités.

Autres définitions Une catégorie est petite si la classe de tous les objets et la classe de tous les morphismes de sont des ensembles par exemple . Signalons que appelle « métacatégorie » ce qui est appelé ici « catégorie », qu'il nomme « catégorie » ce qu'on appelle couramment « petite catégorie », et qu'il réserve le nom de « petite catégorie » à une notion encore plus restrictive.. En fait, il suffit que soit un ensemble. En effet, si tel est le cas, cela implique que est également un ensemble car contient les morphismes identités, qui correspondent aux objets dans .

Une catégorie est dite localement petite si, pour tous objets A, B de , la classe des morphismes de A dans B, i.e. est un ensemble. La plupart des catégories usuelles — exemples ci-dessous — sont seulement localement petites.

Une sous-catégorie de est une catégorie dont les objets sont des objets de et dont les flèches sont des flèches (mais pas nécessairement toutes les flèches) de entre deux objets de la sous-catégorie. Lorsqu'une sous-catégorie de est telle que toutes les flèches de entre deux objets de sont des flèches de , cette sous-catégorie est dite pleine. Par exemple, Ab est une sous-catégorie pleine de Gr. La catégorie de tous les espaces métriques avec les isométries n'est pas une sous-catégorie pleine de Top mais celle des espaces séparés en est une..

Catégorie duale

Étant donné une catégorie , on définit la catégorie opposée ou duale, en prenant les mêmes objets et les mêmes flèches, mais en inversant les fonctions source et but et en remplaçant la composition par son "symétrique". On la note (ou ). Plus précisément : (A, B) = (B, A), et la composition opposée de deux flèches est le "symétrique" de leur composition : f∘g = g∘f. Il est clair que la catégorie duale de la catégorie duale est la catégorie de départ : . Cette dualisation permet de symétriser la plupart des énoncés.

Exemples Intuitivement, les objets d'une catégorie sont souvent des ensembles avec une structure, et les flèches sont souvent des applications entre les ensembles qui en préservent la structure. La table suivante donne des exemples de catégories qui illustrent cette intuition. +CatégorieObjetsFlèchescatégorie ou ensemblesapplicationscatégorie Relensemblesrelations binairescatégorie espaces topologiquesapplications continuescatégorie espaces métriquesapplications uniformément continuescatégorie monoïdesmorphismes de monoïdescatégorie groupesmorphismes de groupescatégorie groupes abéliensmorphismes de groupescatégorie Ringanneauxmorphisme d'anneauxcatégorie anneaux commutatifs unitairesmorphismes d'anneauxcatégorie Corpscorpsmorphismes de corpscatégorie Fieldcorps commutatifsmorphismes de corps commutatifscatégorie ensembles ordonnésapplications croissantescatégorie EV𝕂 ou Vect𝕂espaces vectoriels sur le corps 𝕂applications linéairescatégorie Mesespaces mesurablesfonctions mesurablescatégorie Stochespaces mesurésnoyaux de Markovcatégorie Grphgraphesmorphismes de graphescatégorie Catpetites catégoriesfoncteurs On définit également d'autres catégories tels que celle des modules à gauche sur un anneau..

Les exemples de la table sont des catégories concrètes, c'est-à-dire des catégories munies d'un foncteur fidèle vers la catégorie des ensembles (dans les cas présents, il s'agit du foncteur d'oubli, qui fait abstraction des structures considérées pour ne retenir que leur ensemble de base ; par exemple, appliquer le foncteur d'oubli au groupe (ℤ, +) donne l'ensemble ℤ). Toute petite catégorie est concrète, comme les deux suivantes : On se donne un monoïde M, et on définit la catégorie associée ainsi : objets : un seul flèches : les éléments du monoïde, elles partent toute de l'unique objet pour y revenir ; composition : donnée par la loi du monoïde (l'identité est donc la flèche associée au neutre de M). On se donne un ensemble E muni d'une relation réflexive et transitive R (autrement dit, R est une relation de préordre) et on définit la catégorie associée, notée , ainsi : objets : les éléments de l'ensemble ; flèches : pour tous objets e et f, il existe une flèche de e vers f si et seulement si eRf (et pas de flèche sinon) ;