La formule de Bethe décrit la perte d'énergie de particules chargées rapides (protons, particules alpha, ions atomiques mais pas électrons) en traversant la matière (ou le pouvoir d'arrêt du matériau). Une première version non-relativiste fut créée par Hans Bethe en 1930Article original: Hans Bethe, Zur Theorie des Durchgangs schneller Korpuskularstrahlen durch Materie, "Annalen der Physik", 397 (1930) 325 - 400, puis modifiée par Bethe pour obtenir une version cohérente avec les données expérimentales qui s’appuie sur des effets relativistes, en 1932 Sigmund, Peter (2006). Particle Radiation and Radiation Effects. Springer Series in Solid State Sciences, 151. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. .
La formule
La version relativiste de la formule s'écrit :
où
vitesse de la particuleénergie de la particulelongueur du chemin vitesse de la lumièrecharge de la particulecharge élémentairemasse au repos de l’électrondensité numérique des électrons du matériaupotentiel d’excitation moyen du matériau
Ici, la densité numérique des électrons du matériau peut être calculée en utilisant , où est la densité du matériau, Z et A le nombre atomique et nombre de masse, respectivement, = 1 g/mol la constante de masse molaire et le nombre d'Avogadro.
vignette|Pouvoir d'arrêt d'aluminium pour protons en fonction de l'énergie des protons, et la formule de Bethe sans (rouge) et avec corrections (bleu)Dans l'image ci-contre, les petits cercles sont des résultats expérimentaux obtenus par des auteurs variés (prises de http://www.exphys.jku.at/Stopping/) ; la courbe est la formule de Bethe. Il est évident que la formule de Bethe est en excellent accord avec les expériences à hautes énergies, notamment si les corrections (voir plus bas) sont ajoutées.
La formule de Bethe est souvent appelée formule de Bethe-Bloch, même lorsqu'elle n'inclut pas l'approximation de Bloch (I=(10ev)×Z).
Pour les petites énergies, la formule de Bethe peut être simplifiée à . Par conséquent, à basse énergie, le pouvoir d'arrêt selon la formule de Bethe décroît à peu près comme quand l'énergie croît. Il arrive à un minimum, approximativement à , où est la masse de la particule (pour les protons, cela serait à 3000 MeV). Pour les énergies très relativistes, , la perte d'énergie croît de nouveau, d'une manière relativiste.
La formule de Bethe est valable seulement pour les énergies assez grandes pour que la particule chargée (l'ion) ne porte pas avec elle des électrons atomiques . À des énergies plus petites, si l'ion porte des électrons, sa charge est réduite effectivement, et par conséquent, le pouvoir d'arrêt est réduit aussi. Mais même si la particule est complètement ionisée, on a besoin de corrections.
Corrections de la formule de Bethe
Bethe a trouvé sa formule en utilisant un développement perturbatif en mécanique quantique. Par conséquent, son résultat est proportionnel à la charge de la particule au carré. La formule peut être améliorée en considérant des corrections correspondant à des puissances plus élevées de . Elles sont : l'effet Barkas-Andersen (proportionnel à , d'après et ), et la correction Bloch (proportionnel à ). En outre, il est nécessaire de considérer que les électrons atomiques de la matière ne sont pas stationnaires (« shell correction »).
Ces corrections ont été introduites, par exemple, dans les programmes PSTAR et ASTAR qu'on utilise pour calculer le pouvoir d'arrêt des protons et des particules alphawww.physics.nist.gov/PhysRefData/Star/Text/programs.html. Les corrections sont larges à basse énergie, et elles deviennent de plus en plus petites lorsque l'énergie croît.
Pour les énergies très grandes, il est nécessaire d'ajouterICRU Report 49, International Commission on Radiation Units and Measurements, Bethesda, MD, USA (1993) la correction densité de Fermi.
Voir aussi Pouvoir d'arrêt (rayonnement ionisant)
Notes et références générale
Liens externes
Passage des particules chargées par la matière (en anglais)
Pouvoir d'arrêt pour protons et particules alpha (en anglais)
Pouvoir d'arrêt: dates et graphiques (en anglais)
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