En analyse mathématique, l'équivalence relie deux fonctions ou deux suites qui ont le même comportement au voisinage d'un point ou de l'infini.
Par exemple, avec , alors quand tend vers l'infini, le terme devient insignifiant devant le terme ; on écrit alors , et on dit que est équivalente à en .
Cette notion intervient dans le calcul des développements asymptotiques, dont les développements limités sont des cas particuliers. Elle est très utile dans la détermination de limites.
Pour les suites Définitions
Soient et deux fonctions définies sur une partie de à valeurs dans ou , et soit un point adhérent à ( peut être un réel, ou ).
Une autre caractérisation plus commode dans le cas où ne s'annule pas au voisinage de est :
Exemples
Un équivalent de la somme partielle d'ordre de la série harmonique est :
Un équivalent de la factorielle de est donné par la formule de Stirling :
Pour la suite dont le -ième terme est égal au nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à , le théorème des nombres premiers établit que :
Pour le nombre de façon de décomposer en une somme d'entiers naturels non nul sans considérer l'ordre des termes, alors :
Une suite est équivalente à la suite nulle si et seulement si elle est nulle à partir d'un certain rang..
Propriétés
Dans le cas où la suite ne s'annule pas à partir d'un certain rang, alors :
Cette propriété est la plus simple à mettre en place pour montrer l'équivalence. Si deux suites convergentes sont équivalentes, alors elles ont la même limite. Réciproquement, si deux suites ont la même limite finie et non nulles, alors elles sont équivalentes ; La relation est une relation d'équivalence sur les suites réelles ou complexes ; Une suite possède toujours un équivalent : par exemple elle-même, et cet équivalent n'est pas unique : il en existe une infinité.
Pour les fonctions Définition
Soient et deux fonctions définies sur une partie de à valeurs dans ou , et soit un point adhérent à ( peut être un réel, ou ).
On dit que est équivalente à en , et on note Ou simplement lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur le point que l'on considère. s'il existe une fonction définie sur un voisinage de telle que :
Exemples
Un équivalent en d'une fonction polynomiale est son monôme de plus haut degré ;
Propriétés
Si est non nulle au voisinage de , alors : Cette propriété est la plus simple à mettre en place pour montrer l'équivalence. Si est une constante non nulle : Si , alors est nulle sur un voisinage de ; La relation est une relation d'équivalence sur les fonctions réelles ou complexes ; Si et sont équivalentes en alors : Elles sont de même signe « localement autour de », c'est-à-dire sur un voisinage de ; Elles admettent la même limite en ou bien elles n'admettent pas de limite. Les opérations de multiplication par une autre fonction ou un scalaire, d'inversion, de division sont compatibles avec la relation . Cependant, l'addition et la composition d'équivalents sont généralement fausses (voir opérations sur les équivalents).
Remarques
On peut généraliser cette définition en considérant des fonctions : définies sur une partie d'un espace topologique autre que ; à valeurs dans un espace vectoriel normé sur , ou même dans un espace vectoriel topologique sur avec un corps valué autre que ou . La notion d'équivalence de suites est un cas particulier de celle d'équivalence de fonctions.
Notes et références Notes
Références
Voir aussi
Comparaison asymptotique
Catégorie:Analyse réelle
de:Asymptotische Analyse en:Asymptotic analysis es:Análisis asintótico pt:Análise assintótica