L'intégrale de Dirichlet est l'intégrale de la fonction sinus cardinal sur la demi-droite des réels positifs .
Il s'agit d'une intégrale impropre semi-convergente, c'est-à-dire qu'elle n'est pas absolument convergente mais existe et est finie.
Étude de la convergence
On considère la fonctionEn 0, sa limite à droite vaut 1, donc est prolongeable en une application continue sur , si bien qu'elle est intégrable sur pour tout .Mais elle n'est pas intégrable en , c'est-à-dire que. Cependant, Dirichlet., dans son article historique de 1829 sur les séries de Fourier, mentionne en passant une preuve fondée sur le critère de convergence des séries alternéesComme est nulle à l'infini, pour étudier la limite éventuelle de son intégrale de 0 à a quand a → , il suffit de le faire pour a parcourant les valeurs d'une suite arithmétique arbitraire. :
dans le même esprit, la règle d'Abel pour les intégrales — ou une simple intégration par parties — fournit une preuve de convergence. ; les méthodes ci-dessous de calcul de l'intégrale fournissent encore d'autres preuves de son existence.
Calcul de l'intégrale Avec des suites La méthode consiste à poser
et à montrer que la différence de ces deux suites tend vers 0, que la première est constante, égale à , et que la deuxième tend vers l'intégrale de Dirichlet.
Avec le théorème des résidus
En remarquant que est la partie imaginaire de et en considérant la fonction complexe , le théorème des résidus appliqué aux intégrales du quatrième type, permettant de calculer une valeur principale de Cauchy — ou plus simplement ici : le théorème intégral de Cauchy —, donne le résultat voulu.
Plus précisément, admet un unique pôle, en 0. Considérons le contour défini comme suit : pour deux réels R > ε >0, on choisit les demi-cercles et de centre O, de rayons R et ε, situés dans le demi-plan supérieur et on les relie par deux segments et . Cette courbe délimite un domaine borné du plan ne contenant pas l'origine.
thumb|upright=2|center|Contour pour l'intégrale de Dirichlet.
Le théorème de Cauchy donne alors
d'où, en faisant tendre R vers et ε vers 0 :
ce qui permet de conclure :
On peut aller un peu plus vite en considérant la fonction qui se prolonge en une fonction entière. On intègre alors sur le contour constitué du demi-cercle et de l'intervalle Par le théorème intégral de Cauchy,
d'où, en faisant tendre R vers :
et l'on conclut comme précédemment.
Avec une transformée de Laplace On utilise la formule suivante des transformée de Laplace : si , alors .
Ainsi, en utilisant , d'où .
En revenant à la définition de la transformation de Laplace, la propriété admise donne alors .
En passant à la limiteCe passage à la limite est justifié comme suit dans les de : d'après la deuxième formule de la moyenne, . quand , on obtient .
Une manière plus simple d'arriver au résultat est de montrer que pour tout , (en utilisant justement le fait que est la transformée de Laplace de la fonction sinus), puis d'appliquer ce résultat pour x = 0 (en réalité un calcul de limite via les théorèmes de continuité sous le signe intégrale) et comme l'intégrale de gauche est facile à calculer on arrive aisément au résultat.
Avec la « technique de Feynman » On considère l'intégrale paramétrique ; on remarque déjà que l'intégrale de Dirichlet correspond à .
Par le théorème de dérivabilité des intégrales à paramètres, cette fonction est dérivable pour y > 0 et la dérivée vaut :
Ainsi, , et faire tendre vers l'infini permet d'établir que .
Le théorème de continuité des intégrales à paramètres permet d'affirmer que est continue en 0.
On en déduit que .
Non convergence absolue de l'intégrale vignette|500x500px La convergence de équivaut à celle de la série de terme général positif ; or d'après la preuve sans mot figurée ci-contre, , d'où la divergence de la série donc de l'intégrale.
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Intégrale de Borwein Formule intégrale de Lobachevski
Bibliographie
Dirichlet