Noms des grands nombres

Les noms des grands nombres sont des systèmes de dérivation lexicale qui permettent de nommer des nombres au-delà du langage courant.

Dans les langues occidentales modernes, les grands nombres sont généralement nommés d'après l'un ou l'autre des deux systèmes incompatibles suivants : les échelles longue et courte. Ces deux systèmes définissent différemment les mots « billion », « trillion », « quadrillion » L'échelle longue définit aussi les noms « billiard », « trilliard », « quadrilliard » L'usage a souvent varié, même dans un pays donné, suivant les époques. De nos jours, le français de France emploie en principe l'échelle longue quand l'anglais des États-Unis emploie l'échelle courte.

De nombreux systèmes de nommage ont été proposés pour prolonger ces échelles au-delà des noms conventionnellement admis. Par ailleurs, quelques noms ont également été inventés pour des nombres très grands ; par exemple, en mathématiques, le nombre 10 est baptisé « gogol » et le nombre 10 est nommé « gogolplex » ; en anglais, le nom humoristique « » désigne de façon vague un très grand nombre.

Quelques grands nombres ont un intérêt pour l'être humain et sont d'un usage relativement courant jusqu'au trillionEn anglais « », voir Échelles longue et courte.. Au-delà, les noms de grands nombres ne sont pratiquement jamais employés. Un nombre supérieur au nombre d'atomes dans l'Univers observable, estimé autour de 10, n'a guère de réalité physique. Les calculatrices programmables n'affichent souvent de résultat que jusqu'au plafond de 10.

Quand il faut néanmoins désigner un très grand nombre, les scientifiques préfèrent la notation scientifique et disent par exemple « dix puissance cinquante-et-un » pour désigner le nombre 10.

Usage courant des grands nombres

vignette |Billet d'un milliard de b.-pengő de 1946, imprimé mais jamais diffusé. vignette |Billet de banque de cent billions de dollar du Zimbabwe () imprimés en 2009. La mention « one hundred trillion dollars » correspond à l'usage de l'échelle courte en anglais.

Mille fois mille fait un million et mille fois un million fait un milliard (en échelle longue), mais on peut aussi bien dire « mille millions ». Le terme « milliard » (Milliarde en allemand, millardo en espagnol, milyar en turc, миллиард en russe,   milyar en arabe...) est courant dans l'usage international, particulièrement dans les discussions du monde de la finance, et ne prête pas à confusion.

Les anglophones (plus particulièrement les Américains) n'utilisant cependant pas le milliard, mille fois un million fait déjà pour eux un « billion », qui marque le début de l'échelle courte. Dans un cas comme dans l'autre, le « billion » marque l'entrée dans le territoire des grands nombres artificiels, où l'usage devient hésitant.

L'usage courant ne dépasse guère le milliard : « la population mondiale est prévue à 7,3 milliards d'humains en 2015 selon les Nations unies » ; « le PIB mondial est estimé entre 72 et 75 mille milliards de dollars en 2013 ». Dans le registre courant (dans la presse, par exemple), l'habitude est plutôt d'utiliser des combinaisons, par exemple un « milliard de milliards » à la place d'un trillion.

Les termes supérieurs de billion ou trillion peuvent se rencontrer, mais dans des contextes exceptionnels. L'exemple le plus évident est celui de l'hyperinflation, où la valeur faciale nécessaire aux échanges commerciaux courants peut dépasser le million. La valeur faciale la plus grande à avoir été imprimée a théoriquement été le billet de 10 (un trilliard) de pengő, mais elle l'a été sous forme d'un milliard (10) de b.-pengő (billion de pengő, soit 10), le b.-pengő étant donc considéré comme une unité monétaire en soi. En 2009, le Zimbabwe a en outre imprimé un billet de (10) de dollars du Zimbabwe., qui au moment de leur impression ne valait que ..

Quand c'est une quantité physique qui doit être désignée, ce sont les préfixes du Système international qui sont préférentiellement utilisés. Il est plus facile de comprendre « une femtoseconde » que « un billiardième de seconde ». Ces préfixes peuvent également s'appliquer aux unités monétairesCette application est théoriquement obligatoire en France depuis l'arrêté du , car le système métrique comprenait à l'époque le franc or.. On peut ainsi exprimer des achats importants en k€ (kiloeuros, ou milliers d'euros), les budgets d'une grande ville en M€ (mégaeuros, pour millions d'euros) ou G€ (gigaeuros, à préférer à l'abréviation Md€ qui n'a pas d'existence officielle). Le PIB mondial est ainsi de l'ordre de (téradollars, ) et la dette publique de la France est de l'ordre de en 2013 ( en 2025).

Dans l'usage scientifique, les grands nombres sont exprimés avec la notation scientifique. Dans cette notation, qui existe depuis les années 1800, les grands nombres sont exprimés par un 10 et un nombre en exposant. On dira par exemple : « L'émission en rayons X de cette radio-galaxie est de L'erg est une unité du système CGS encore utilisé en astronomie et en chimie. ». Le nombre 10 se lit simplement « dix puissance quarante-cinq » : plus parlant qu'un septilliard (en échelle longue, ou « quattuordécillion » en échelle courte), qui présentent de plus l'inconvénient de signifier deux choses différentes, suivant que la convention utilisée est l'échelle longue ou courte.

Même pour des mesures scientifiques extrêmes, il n'est pas nécessaire de disposer de très grands nombres. Ainsi, si l'on exprime l'âge de l'Univers ( - de l'ordre d'un demi-trillion de secondes) en prenant comme unité le temps de Planck ( - de l'ordre de cinquante septilliardièmes de seconde), on ne trouve « que » , soit huit décillions.

Ce n'est donc pas pour leur utilité pratique que les grands nombres sont nommés, mais ils ont de tout temps fasciné ceux qui se sont penchés sur eux en essayant d'appréhender ce que « grand nombre » pouvait signifier.

Famille des -llions Système de Nicolas Chuquet En 1475, le mathématicien français décrivit bymillion et trimillion dans ce qui semble être la description d'un boulier, leur donnant leur usage moderne (suivant l'échelle longue) de 10 et 10, dans son manuscrit en français médiéval Traicté en arismetique pour la practique par gectouers....

vignette|Page sur laquelle Chuquet fit la première description d'une méthode de dénomination pour zillions. Peu après, Nicolas Chuquet écrivit en 1484 un livre, Triparty en la science des nombres..., où l'on trouve le premier exposé de l'usage moderne de grouper les grands nombres par paquets de six chiffres, qu'il séparait par des « virgules supérieures » (les noms employés par Chuquet ne sont pas tout à fait les noms modernes).

Cependant, l'ouvrage de Chuquet ne fut pas publié de son vivant. Une bonne partie en fut copiée par Estienne de La Roche dans un ouvrage qu'il publia en 1520, L'arismetique.

C'est à Chuquet que l'on attribue l'invention du système, mais les premiers termes existaient donc avant lui : les mots bymillion et trimillion apparaissent en 1475 dans le manuscrit de Jehan Adam ; le terme million existait avant Adam et Chuquet. C'est un mot d'origine probablement italienne, millione, forme intensifiée du mot mille : un million est étymologiquement un gros millier, rappelant les unités de second ordre d'Archimède ; la manière dont Adam et Chuquet présentent ces termes suggère qu'ils décrivent un usage préexistant, plutôt qu'une invention personnelle. Il est probable que des termes comme billion et trillion étaient déjà connus à cette époque, mais que Chuquet (expert dans l'art de manier les exposants) en a généralisé le système, inventant les noms correspondant aux puissances plus élevées.

Cette description est celle qui correspond au système dit de l'échelle longue, où les préfixes correspondent aux puissances du million. Le bymillion de Adam (byllion pour Chuquet) correspond donc à 10, et le trimillion / tryllion vaut 10.

Chuquet ne précisa que les dix premiers préfixes ; l'extension de son système aux nombres supérieurs a toujours provoqué des variantes dans les solutions retenues pour adapter les noms latins au suffixe -llion.

Formation des noms en -llion et en -lliard Le système de Nicolas Chuquet accole un préfixe bi-, tri- au suffixe -llion (originellement -million), pour former les noms d'unité successifs au-delà du million. Dans le système originel, dit échelle longue, chaque unité vaut un million de fois () l'unité précédente. Ainsi un trillion est la puissance troisième du million.

Dans l'échelle longue, on nomme également les puissances de mille intermédiaires avec le suffixe -illiard, sur le modèle des noms en -illions : un X-illiard vaut mille X-illions. Cet ajout ultérieur au système de Chuquet n'est pas indispensable : l'usage britannique traditionnel (supplanté depuis le par l'usage américain de l'échelle courte) se contente de dire, par exemple, deux mille billions plutôt que deux billiards.

+ Formation des termes en -llion et -lliard jusqu'au rang 10 Rang Puissance du million Mille fois la puissance du million Nom Valeur Nom Valeur 1 million = 10 milliard = 10 2 billion = 10 billiard = 10 3 trillion = 10 trilliard = 10 4 quadrillionOu quatrillion (selon le décret français 61-501 du ). = 10 quadrilliard = 10 5 quintillion = 10 quintilliard = 10 6 sextillion = 10 sextilliard = 10 7 septillion = 10 septilliard = 10 8 octillion = 10 octilliard = 10 9 nonillion = 10 nonilliard = 10 10 décillion = 10 décilliard = 10

En échelle longue, ces dix unités permettent de compter jusqu'à 10 (exclu), ce qui suffit largement aux usages physiques normaux. Un prolongement est recommandé en 1948 à l'occasion de la neuvième Conférence générale des poids et mesures, mais l'idée est restée sans suite car les préfixes du Système international d'unités sont plus commodes et évitent un arbitrage entre échelles longue et courte.

De nos jours, sous l'influence américaine, les pays anglo-saxons tendent à réinterpréter ces noms selon un système incompatible et moins régulier, l'échelle courte, où un « » vaut un milliard (10) et un « » vaut un billion 10). Au contraire, en France, un décret de 1961Journal officiel du 20 mai 1961, sur Légifrance, . rétablit officiellement l'usage de l'échelle longue.

Les noms et leur orthographe n'ont pas toujours été stabilisés. Sous la plume de Chuquet, on trouve bymilion/byllion, trimillion/tryllion, quadrillion, quillion, sixlion… Au , Jacques Peletier du Mans (qui lui-même attribue cet usage à Guillaume Budé) écrit milliart pour signifier un million de millions (10) ; au , la valeur du milliard est réduite à mille millions. Plus récemment, le décret français de 1961 introduit l'orthographe quatrillion au lieu du traditionnel quadrillion sans que l'on puisse savoir si c'est un changement délibéré ou une coquille.

Système de Conway, Guy et Wechsler Nicolas Chuquet n'a pas précisé de noms au-delà du rang 10. John Horton Conway, Richard Guy et Allan Wechsler J. H. Conway et R. K. Guy, The Book of Numbers, New York, Springer-Verlag, 1996, . . proposent (en anglais) une extension pour les rangs supérieurs. Pour les rangs jusqu'à 10, leur nomenclature reprend les noms de Chuquet, largement conventionnels. Pour les rangs de 10 à 999, ils proposent un système de dérivation systématique du nom qui s'efforce d'imiter le nom en langue latine du rang correspondant.

La méthode pour nommer le rang consiste à accoler jusqu'à trois radicaux indiquant respectivement son chiffre des unités, son chiffre des dizaines et son chiffre des centaines. Les chiffres sont ainsi énoncés dans l'ordre contraire du français. Quand un chiffre vaut zéro, on omet le radical correspondant. Par exemple, avec cette construction, un 421-illion (soit selon l'échelle longue) s'appelle un unvigintiquadringentillion.

Les radicaux à combiner sont donnés dans le tableau ci-dessous (les tirets ne font pas partie du nom de nombre).