En mathématiques, le pfaffien, ou le déterminant pfaffien, d'un matrice (noté ) est un scalaire qui intervient dans l'étude des matrices antisymétriques. Il tire son nom du mathématicien allemand Johann Pfaff.
Le pfaffien d'une matrice s'exprime de façon polynomiale à partir des coefficients de la matrice. Ce polynôme étant nul si la matrice est de taille impaire, il ne présente d'intérêt que dans le cas des matrices antisymétriques de taille paire . Le degré du polynome ainsi construit est alors .
Le pfaffien des matrices antisymétriques est relié à leur déterminant par la formule : Le déterminant d'une telle matrice est en effet un carré parfait.
Histoire
Le terme « pfaffien » fut introduit par Arthur Cayley, qui l'utilisa en 1852 : « Les permutants de cette classe (par leur lien avec les recherches de Pfaff sur les équations différentielles) je les appellerai pfaffiens » . Le mathématicien allemand à qui il fait référence est Johann Friedrich Pfaff.
C'est en 1882 que Thomas Muir prouve le lien entre pfaffien et déterminant d'une matrice antisymétrique. Il publie ce résultat dans son traité sur les déterminants Thomas Muir, A Treatise on the Theory of Determinants, réédité et augmenté en 1930..
Définition formelle
Soit une matrice antisymétrique . Le pfaffien de est défini par :
où est le groupe symétrique et est la signature de .
Simplification Cette définition peut être simplifiée en utilisant l'antisymétrie de la matrice, ce qui évite d'additionner toutes les permutations possibles.
Soit l'ensemble de toutes les partitions de {1, 2, …, 2n} en paires, indépendamment de l'ordre. Il y en a (2n − 1)!!. Un élément α ∈ peut être écrit sous la forme :
avec et . Soit
la permutation correspondante. π ne dépend que de α. Étant donné une partition α, on peut définir :
Le pfaffien de A est alors :
Le pfaffien d'une matrice antisymétrique n×n pour n impair est défini nul.
Définition alternative
On peut associer, à toute matrice antisymétrique , un bivecteur :
où {e1, e2, …, e2n} est la base canonique de R2n. Le Pfaffien est alors défini par la relation :
Ici, ωn dénote le produit extérieur de n copies de ω avec lui-même. Le pfaffien apparaît donc comme le coefficient de colinéarité entre ωn et la forme volume de R2n.
Exemples
Identités remarquables
Identités générales Pour une matrice antisymétrique , et une matrice arbitraire notée ,
(lemme de Muir)
Matrices diagonales par blocs Le pfaffien d'une matrice antisymétrique diagonale par blocs de la forme
est le produit des pfaffiens des blocs .
Cela se généralise par récurrence à plus de deux blocs.
Matrice carrée quelconque .
Applications
Le pfaffien est un polynôme en les coefficients d'une matrice antisymétrique, invariant par transformation orthogonale. Il apparaît dans la théorie des classes caractéristiques et peut être utilisé pour définir la classe d'Euler d'une variété riemannienne, utilisée dans le théorème généralisé de Gauss-Bonnet. On utilise le pfaffien en physique pour calculer la fonction de partition des modèles d'Ising.. On l'utilise depuis peu pour établir des algorithmes plus efficaces pour résoudre certains problèmes en physique quantique.
Références
Voir aussi Articles connexes Matrice symplectique Algèbre linéaire et multilinéaire Contrainte pfaffienne
Algorithme FKT
Catégorie:Algèbre multilinéaire Catégorie:Déterminant