Dans le domaine des systèmes dynamiques, un cycle limite (ou cycle-limite) sur un plan ou une variété bidimensionnelle est une trajectoire fermée dans l'espace des phases, telle qu'au moins une autre trajectoire spirale à l'intérieur lorsque le temps tend vers .
Ces comportements s'observent dans certains systèmes non linéaires. Si toutes les trajectoires voisines approchent le cycle limite lorsque t , on parle de cycle limite stable ou attractif.
Les cycles limites stables impliquent des oscillations maintenues. Toute perturbation qui éloignerait la trajectoire du cycle limite s'atténuerait avec le temps, pour revenir à ce cycle limite quand .
Cas de l'oscillateur de Van der Pol vignette| Cycle limite de l'oscillateur de Van der Pol.
On peut observer un cycle limite stable pour l'oscillateur de Van der Pol. Toutes les trajectoires tendent à former une figure fermée : le système a tendance à maintenir des oscillations.
Cas général vignette| redresse=1.5| Cycle limite pour la bifurcation de Hopf ; 1 : supercritique, 2 : sous-critique.
Le nombre de cycles limites d'une équation différentielle polynomiale fait l'objet de la seconde partie du seizième problème de Hilbert. Le théorème de Poincaré-Bendixson et prédisent l'existence, respectivement l'absence, de cycles limites pour les équations différentielles non linéaires en deux dimensions.
Notes et références
Voir aussi
Bibliographie . . . Solomon Lefschetz, Differential Equations: Geometric Theory, Dover, 2005. Lawrence Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, 2006. Lev Pontriaguine, Équations différentielles ordinaires, Mir, Moscou, 1969. Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Addison-Wesley, 1994. . .
Articles connexes Portrait de phase
Catégorie:Équation différentielle