En analyse mathématique, la règle du produit, aussi appelée règle de Leibniz, est une formule utilisée afin de trouver les dérivées de produits de fonctions. Sous sa forme la plus simple, elle s'énonce ainsi :
En notation de Leibniz, cette formule s'écrit :
Une application importante de la règle du produit est la méthode d'intégration par parties.
Exemple Soit la fonction définie par :
Pour trouver sa dérivée avec la règle du produit, on pose et . Les fonctions , et sont partout dérivables car polynomiales.
On trouve ainsi :
On peut le vérifier en développant d'abord l'expression de : puis en dérivant cette somme terme à terme : on retrouve bien
Démonstration de la règle du produit Démonstration analytique Une preuve de la règle du produit peut être donnée en utilisant les propriétés des limites et la définition de la dérivée comme limite du taux d'accroissement.
Démonstration simplifiée, et illustrée géométriquement
right|thumb|Figure 1. Illustration géométrique de la règle du produit.
Soient et deux fonctions dérivables en . Définissant et , l'aire du rectangle (cf. Figure 1) représente .
Si varie d'une quantité , les variations correspondantes en et sont désignées par et .
La variation de l'aire du rectangle est alors :
c'est-à-dire la somme des trois zones ombrées sur la Figure 1 ci-contre.
En divisant par :
En prenant la limite quand , on obtient :
Généralisations Produit de plusieurs fonctions
Cette relation peut être démontrée par récurrence.
Dérivées d'ordre supérieur (règle de Leibniz) La règle du produit peut aussi être généralisée en la règle de Leibniz pour la dérivation d'ordre supérieur d'un produit de deux fonctions d'une variable réelle.
Cette formule se démontre par récurrence sur . La démonstration est comparable à celle de la formule du binôme de Newton.
On peut aussi démontrer la formule de Leibniz en utilisant un développement de Taylor-Young.
Dérivées d'ordre supérieur d'un produit de plusieurs fonctions La formule suivante généralise simultanément les deux précédentes : , où les entiers
sont les coefficients multinomiaux. La preuve peut se faire par récurrence sur m, le nombre de fonctions considérées, en utilisant la formule (qui se réduit à la formule de Leibniz) au rang m=2.
Dimensions supérieures La règle du produit s'étend à des fonctions de plusieurs variables réelles (définies sur ℝn) ou plus généralement, des fonctions dont la variable est un vecteur :
On dispose de résultats analogues pour les dérivées directionnelles et les dérivées partielles.
Fonctions holomorphes Par le même calcul que ci-dessus mais en remplaçant la variable réelle par une variable complexe, on démontre la règle suivante pour un produit de fonctions holomorphes.
On peut aussi le déduire de la sous-section précédente (pour = ℂ) et des équations de Cauchy-Riemann.
Autres fonctions, autres produits
Si l'on regarde de près la démonstration de la règle du produit, on se rend compte que l'ingrédient principal, outre la dérivabilité des fonctions, est la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition (le fait que ). Or les mathématiciens ont pris l'habitude de n'appeler produit que les opérations bénéficiant de cette propriété. Par contre tous les produits ne sont pas commutatifs ( quand a et b sont des nombres, mais ce n'est pas vrai pour d'autres produits). On peut donc en toute confiance appliquer la règle du produit à d'autres produits d'autres fonctions que la multiplication de fonctions numériques, mais en prenant garde de bien conserver l'ordre des facteurs quand le produit n'est pas commutatif.
De même que dans le § « Dimensions supérieures », on peut, dans tous ces exemples, remplacer la variable réelle (« temps ») par une variable vectorielle.
Règle du produit dans des espaces vectoriels normés
Par composition avec un couple de fonctions définies sur un espace vectoriel normé , on en déduit la forme générique des exemples ci-dessus :
Notes et références
Voir aussi Bibliographie Robert A. Adams, Calculus, A Complete Course, éd., Pearson Education, 2007
Articles connexes Dérivation (algèbre) Identités vectorielles Opérations sur les dérivées Règle de Leibniz pour les différences divisées
Catégorie:Dérivée