Sur un espace mesurable , une mesure finie (ou mesure bornée) est une mesure positive μ pour laquelle μ(X) est fini, ou plus généralement une mesure signée, voire une mesure complexe dont la masse (valeur sur X de la variation totale |μ| de μ) est finie.
Fonctions intégrables
Toute fonction complexe f mesurable et bornée est intégrable pour toute mesure finie ; et on dispose de la majoration :
Exemples de mesures finies
La mesure de comptage sur un ensemble X est finie ssi X est un ensemble fini. Les masses de Dirac sont des mesures finies, quel que soit l'espace mesurable considéré. Plus généralement, les mesures de probabilité sont des exemples de mesures finies : ce sont des mesures positives de masse 1. La mesure de Lebesgue sur un domaine borné de ℝ. Pour une mesure complexe pas nécessairement finie et pour une fonction -intégrable , la variation totale de la mesure est exactement ; de fait, la mesure est finie.
Suite décroissante des espaces D'après l'inégalité de Hölder ou celle de Jensen, les espaces d'une mesure finie forment une famille décroissante pour l'inclusion, avec des injections continues. Plus précisément :
Une réciproque très forte est vraie : si est σ-finie et s'il existe et , avec , tels que , alors est finieVoir par exemple , ou .
Espace des mesures finies
Toute somme de mesures finies (signées ou complexes) est une mesure finie. Toute mesure proportionnelle à une mesure finie est une mesure finie.
L'espace des mesures finies (signées ou complexes) forme un espace de Banach (réel ou complexe) pour la norme :
Pour toute mesure sur (finie ou pas), l'application induit une isométrie de sur un sous-espace vectoriel fermé de .
Lorsque est σ-finie, ce sous-espace auquel s'identifie est égal (d'après le théorème de Radon-Nikodym) à l'ensemble de toutes les mesures finies absolument continues par rapport à . Il est inclus dans le dual topologique de :
Cette inclusion est stricte (sauf dans les cas triviaux) car est constitué des « mesures » (finies et absolument continues par rapport à ) qui sont seulement finiment additives.
Notes et références
Catégorie:Théorie de la mesure