La décomposition polaire est un outil mathématique fondamental pour comprendre les propriétés topologiques des groupes linéaires réels et complexes.

Décomposition polaire d'une matrice réelle Les applications suivantes sont des homéomorphismes, et même des difféomorphismes.

En particulier, toute matrice inversible réelle se décompose de façon unique en produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice symétrique définie positive. Les applications suivantes sont surjectives mais non injectives :

En particulier, toute matrice réelle se décompose en produit d'une matrice orthogonale et d'une unique matrice symétrique positive (mais pas nécessairement de façon unique).

Décomposition polaire d'une matrice complexe Les applications suivantes sont des homéomorphismes, et même des difféomorphismes.

En particulier, toute matrice inversible complexe se décompose de façon unique en produit d'une matrice unitaire et d'une matrice hermitienne définie positive. Les applications suivantes sont surjectives mais en général non injectives :

En particulier, toute matrice complexe se décompose en produit d'une matrice unitaire et d'une unique matrice hermitienne positive (mais pas nécessairement de façon unique).

Remarque. Pour n = 1, on retrouve l'écriture d'un nombre complexe non nul. C'est la raison du nom de décomposition polaire : c'est une sorte de généralisation des coordonnées polaires.

Application L'ensemble des matrices symétriques ou hermitiennes définies positives est convexe (2 matrices symétriques positives sont reliées par un segment à valeur dans SO(R)) donc contractile. Il en résulte que a le même type d'homotopie que et que a le même type d'homotopie que .

Notes et références

et 330 de l'éd. 2010 : « Décomposition de Cartan du groupe linéaire »

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