En mathématiques, un espace régulier est. un espace topologique vérifiant les deux conditions de séparation suivantesOu simplement T et T, puisque T∧T ⇒ T. : T : l'espace est séparé ; T : on peut séparer un point x et un fermé ne contenant pas x par deux ouverts disjoints.
Propriété T vignette|Le point x et le fermé F sont respectivement inclus dans les ouverts U et V, qui sont disjoints. Soit E un espace topologique (non nécessairement séparé). Les propositions suivantes sont équivalentes : E est T ; on peut séparer un point x et un fermé ne contenant pas x par deux ouverts d'adhérences disjointes ; tout point x admet une base de voisinages fermés (autrement dit : tout ouvert contenant x contient un voisinage fermé de x) ; tout fermé est l'intersection de ses voisinages fermés..
La topologie grossière (sur n'importe quel ensemble) est T.
La propriété T est (de même que T) préservée par sous-espaces et par produits.
Espace complètement régulier
Un espace topologique est dit complètement régulier s'il est uniformisable et séparé.. Tout espace complètement régulier est régulier, car un espace X est uniformisable si et seulement si pour tout point x de X et tout fermé F de X ne contenant pas x, il existe une fonction continue de X dans le segment [0, 1] valant 0 en x et 1 sur F.
Par exemple, tout groupe topologique séparé est complètement régulier. Les espaces normaux et les espaces localement compacts sont complètement réguliers.
Notes et références
Articles connexes
Regulier