En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, un anneau A est dit semi-simple si A, considéré comme A-module, est semi-simple, c'est-à-dire somme directe de A-modules qui n'admettent pas d'autres sous-modules que {0} et lui-même. À isomorphisme près, ce sont les anneaux produits d'anneaux de matrices carrées sur des corps, commutatifs ou non.

Cette notion est présente dans de nombreuses branches mathématiques : on peut citer l'algèbre linéaire, l'arithmétique, la théorie des représentations d'un groupe fini celle des groupes de Lie ou celle des algèbres de Lie. Elle est, par exemple, utilisée pour démontrer le critère de réciprocité de Frobenius.

La théorie des algèbres semi-simples se fonde sur le lemme de Schur et le théorème d'Artin-Wedderburn. Généralités Modules simples et semi-simples

Soient A un anneau et M un A-module. On dit que M est simple s'il est non réduit à 0 et si {0} et M sont ses seuls sous-modules. Par exemple, les espaces vectoriels qui sont simples en tant que modules sur un corps sont ceux qui sont de dimension 1. M est dit semi-simple si M est isomorphe à la somme directe d'une famille (finie ou non) de A-modules simples. Il est aussi équivalent de dire que, pour tout sous-module N, il existe un sous-module P de M tel que M est somme directe interne de N et P. Par exemple, tout espace vectoriel sur un corps est semi-simple.

Anneaux semi-simples Définition On dit qu'un anneau A est semi-simple si, en considérant A comme un A-module (à gauche ou à droite), A est semi-simple. On dit qu'une algèbre (unitaire associative) sur un corps commutatif est semi-simple si son anneau sous-jacent est semi-simple.

Puisque, en considérant A comme un A-module, les sous-module de A sont les idéaux à gauche de A, il est équivalent de dire que: A est semi-simple; A est, en tant que A-module, isomorphe à la somme directe d'une famille (finie ou non) de A-modules de la famille A/I, où I est un idéal à gauche maximal de A; Pour tout idéal à gauche I de A, il existe un idéal à gauche J tel que A est somme directe de I et J, c'est-à-dire pour tout élément x de A, il existe un unique couple (y, z) avec y dans J et z dans J tel que x = y + z.

Exemples

Voici quelques exemples d'anneaux semi-simples.

L'anneau trivial {0} est semi-simple. Tout corps (commutatif ou non) est un anneau semi-simple. Un anneau simple est semi-simple si et seulement s'il est artinienUn anneau est dit artinien (à gauche) si toute suite décroissante d'idéaux à gauche de A est stationnaire.Attention : tout module simple est semi-simple, mais un anneau simple n'est pas toujours semi-simple.. Par exemple, si D est un corps et si E est un espace vectoriel de dimension finie non nulle n sur D, les anneau EndD et Mn(D) sont simples et artiniens, et donc semi-simples. L'anneau opposé à un anneau semi-simple est semi-simple. L'anneau produit d'une famille finie d'anneaux semi-simples (en particulier : de corps) est semi-simple. Par exemple si V est un K-espace vectoriel et φ un endomorphisme de V diagonalisable à m valeurs propres, alors la K-algèbre engendrée par φ est isomorphe à Km donc est un anneau semi-simple. L'anneau quotient d'un anneau semi-simple par un idéal bilatère est semi-simple. Soient A un anneau semi-simple et M un A-module de type fini. Alors l'anneau des endomorphismes de A-module de M est un anneau semi-simple.

Propriétés et caractérisation

Théorème. Soit A un anneau. Il est équivalent de dire que : l'anneau A est semi-simple ; l'anneau A est artinien et semi-primitifUn anneau est dit semi-primitif si son radical de Jacobson est nul. ; tout A-module est un module semi-simple ; tout A-module est un module projectif ; tout A-module est un module injectif.

Notions apparentées Autres notions de semi-simplicité La notion de semi-simplicité pour un anneau varie beaucoup d'un auteur à l'autre, et ne sont pas toutes équivalentes, mais les plus courantes sont équivalentes si on suppose les anneaux artiniens (et unitaires). Pour certains auteurs, les anneaux semi-simples sont ce que l'on appelle anneaux semi-primitifs. Pour d'autres auteurs, les anneaux semi-simples sont les anneaux qui sont d'anneaux simples. Aussi, il y a des notions de semi-simplicité pour les anneaux « non unitaires ».

Algèbres séparables Soient K un corps commutatif et A une algèbre semi-simple de dimension finie sur K. Si K est un corps parfait (par exemple si la caractéristique de K est nulle, ou si K est algébriquement clos, ou si K est fini), alors, pour tout surcorps commutatif L, la L-algèbre L ⊗K A déduite de A par extension des scalaires de K à L est semi-simple. Par contre, si K est quelconque, il se peut que ce ne soit pas le cas, alors, si c'est le cas, on dit que A est séparable. Donc, si K est parfait, alors A est séparable.

Structure des anneaux semi-simples Décomposition d'un anneau semi-simple Soit A un anneau semi-simple.

Alors l'ensemble des idéaux bilatères minimaux de A (les éléments minimaux, pour la relation d'inclusion, de l'ensemble des idéaux bilatères de A) est fini. Soit I1, ..., Ip ces idéaux bilatères minimaux. Chacun des Ik est, pour la multiplication induite, un anneau simple artinien (donc unitaire). Il existe un unique homomorphisme de groupes de I1 × ... × Ip dans A qui prolonge les injections canoniques des Ik dans A, et c'est un isomorphisme d'anneaux.

Donc l'anneau A est isomorphe à l'anneau produit d'un nombre fini d'anneaux simples artiniens, et l'écriture de A comme produit de ces anneaux est unique, à l'ordre près des facteurs. Ces facteurs sont ses idéaux bilatères minimaux, et on les appelle composants simples de A.

Pour qu'un anneau soit semi-simple, il faut et il suffit qu'il soit isomorphe à l'anneau produit d'un nombre fini d'anneaux simples artiniens.

Le centre d'un anneau semi-simple est isomorphe l'anneau produit de centres de ses composants simples, et le centre est isomorphe à l'anneau produit d'un nombre fini de corps commutatifs. En fait, les anneaux semi-simples commutatifs ne sont autres que les anneaux qui sont isomorphes à un produit d'une famille finie de corps commutatifs.

Théorème d'Artin-Wedderburn Puisque tout anneau semi-simple s'écrit de manière unique comme produit d'un nombre fini d'anneaux simples artiniens (à l'ordre près des facteurs), la classification des classifications des anneaux semi-simples se réduit à la classification des anneaux simples artiniens. Or les anneaux simples artiniens sont exactement ceux qui, à isomorphisme près, sont de la forme Mn(D) (anneau des matrices carrées), où n > 0 et D est un corps. On peut donc énoncer le:

Théorème d'Artin-Wedderburn. Soit A un anneau. Il est équivalent de dire que: A est semi-simple; A est isomorphe à Mn1(D1) × ... × Mnp(Dp), où n1, ..., np > 0 sont des entiers et D1, ..., Dp sont des corps (commutatifs ou non); A est isomorphe à EndD1(E1) × ... × EndDp(Ep), où D1, ..., Dp sont des corps et E1, ..., Ep sont des espaces vectoriels de dimensions finies non nulles sur D1, ..., Dp respectivement.

Cas des algèbres semi-simples de dimension finie Dans cette partie, on note K un corps commutatif.

Soit A une K-algèbre semi-simple de dimension finie. Alors chacun des composants simples A1, ..., Ap de A (voir plus haut) sont des K-algèbres simples de dimensions finies, et alors A est isomorphe, en tant que K-algèbre, à A1 × ... × Ap. Ainsi, les K-algèbres semi-simples ne sont autres que, à isomorphisme près, les produits d'un nombre fini de K-algèbres simples de dimensions finies.

Si A est de la forme Mn1(D1) × ... × Mnp(Dp), ou de la forme A = EndD1(E1) × ... × EndDp(Ep), alors K est un sous-corps des centres des Di, alors les dimensions des Di sur K sont finies. Réciproquement, toute K-algèbre semi-simple de dimension finie est de cette forme.

Si K un corps algébriquement clos, alors A est, à isomorphisme près, de la forme Mn1(K) × ... × Mnp(K). De plus le centre de A est isomorphe à Kp.

Modules simples sur des anneaux semi-simples Soient A = A1 × ... × Ap un anneau semi-simple, décomposition (de manière unique, à ordre près des facteurs) en produit d'anneaux simples artiniens. Alors il existe p classes d'isomorphies de A-modules simple. Si M est un A-module simple, il existe un unique 1 ≤ k ≤ p tel que AkM ≠ {0}, et alors, considéré comme Ak-module, M est un Ak-module simple.

On suppose que A = EndD1(E1) × ... × EndDp(Ep), où les Di sont des corps et les Ei des espaces vectoriels de dimensions finies non nulles sur les Di (ce qui n'est pas, à isomorphisme près, une perte de généralité). Alors chacun des Ei est un A-module pour la loi externe ((f1, ..., fp), xi) fi(xi), et, pour ces lois externes, les Ei sont, à isomorphismes près, les seuls A-modules simples.

Théorème de Maschke

Le théorème de Maschke concerne les représentations d'un groupe fini, mais se réinterprète en termes de semi-simplicité de l'algèbre d'un groupe fini :

Théorème de Maschke. L'algèbre K[G] d'un groupe fini G, sur un corps commutatif K dont la caractéristique ne divise pas l'ordre de G, est un anneau semi-simple.

Puisque les K[G]-modules simples sont essentiellement les représentations irréductibles de G et que ces dernières sont (pour G fini) équivalentes à des sous-représentations de la représentation régulière, il n'y en a, à isomorphisme près, qu'un nombre fini et ils sont tous de dimension finie.

Histoire Origines vignette|Camille Jordan. L'histoire de l'étude de la notion d'algèbre est initialement étroitement liée à celui de la relation entre l'algèbre linéaire et la théorie des groupes. James Sylvester et Arthur Cayley développent en 1850 la notion de matrice. Cette notion apporte de nombreux services dont l'un est à l'origine du concept. Elle permet d'incarner des groupes et particulièrement les groupes de Galois et de les étudier sous un axe nouveau, celui d'un groupe de matrices. À l'origine seul le cas fini est étudié, l'analyse met en évidence une nouvelle structure, que l'on considère maintenant comme l'algèbre des endomorphismes engendrés par les automorphismes du groupe.

Camille Jordan, le grand spécialiste de l'époque avec Cayley, l'utilise intensivement. En 1869, elle lui permet de démontrer l'existence, rééd. Œuvres, Gauthier-Villars, 1961, vol. 1, p. 211-230 d'une chaîne de composition pour les groupes finis connue sous le nom de théorème de Jordan-Hölder. Le caractère d'unicité d'une telle chaîne est démontré par Otto Hölder vingt ans plus tard. Ce théorème possède deux lectures possibles, l'une sur les groupes finis, l'autre sur les modules. La deuxième lecture correspond à une propriété structurelle essentielle, elle est une des origines de l'intérêt pour ce qui deviendra une branche des mathématiques, l'algèbre commutative. L'analyse du groupe de Galois offre des perspectives aussi en algèbre linéaire. Elle amène Jordan à étudier les endomorphismes en dimension finie à travers cette algèbre et permet une compréhension aussi profonde que définitive de leur structure. Ce résultat, est publié dans un livre de synthèseC. Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, 1870 en 1870. Il est connu sous le nom de réduction de Jordan et s'applique sur les corps finis premiers, c'est-à-dire les corps des entiers modulo un nombre premier.

Les conséquences des travaux de Jordan sont considérables, son livre de synthèse devient la référence sur les théories des groupes, de Galois et de l'algèbre linéaire. Il démontre d'une part que l'analyse des groupes à travers le groupe linéaire est une démarche féconde, et par ailleurs que la structure d'algèbre est riche en enseignements à la fois en termes de module et d'algèbre linéaire.

Théorie des groupes