En théorie des nombres, la conjecture de Gilbreath ou conjecture de Proth-Gilbreath, est une conjecture non résolue attribuée à Norman L. Gilbreath en 1958, bien que déjà énoncée en 1878 par François Proth., qui croyait l'avoir démontrée..
Définition du problème
On écrit sur une première ligne la suite des nombres premiers, soit :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …
et on écrit sur chaque ligne suivante la valeur absolue de la différence entre deux valeurs consécutives de la ligne précédente, ce qui équivaut, en notant les valeurs de la suite d'une certaine ligne et celles de la ligne suivante, à :
.
On obtient ainsi une succession de lignes : +235711131719232931122424246210222222412000002120000212000212002 La conjecture de Gilbreath s'énonce ainsi :
Elle a été vérifiée en 1993 par Andrew Odlyzko, pour les nombres premiers inférieurs à 10, c'est-à-dire jusqu'à la 3,4.10-ième ligne..
En 2025, elle a été vérifiée par Simon Plouffe et Jean-François Colonna pour les nombres premiers inférieurs à .
Jean-Francois Colonna a annoncé le 24/01/2026 une vérification numérique pour les nombres premiers jusqu'à 1,5.1015.
Le tableau précédent, lu par antidiagonales montantes, est répertorié comme .
Notes et références
Articles connexes Écart entre nombres premiers Différence finie Transformation_binomiale#Formulation_alternative
Liens externes Gilbreath's conjecture Java
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