Il s'agit d'un concernant les polynômes. Soit P un polynôme tel que:
où les sont réels.
Si a est une racine de P, alors a vérifie
Ce théorème reste vrai si les et sont complexes et l'inégalité est même stricte. Mieux : par le théorème de Rouché, le polynôme P admet n racines (comptées avec leurs multiplicités) dans le disque complexe ouvert de centre 0 et de rayon , ce qui fournit une preuve du théorème de d'Alembert-Gauss en plus de la majoration annoncée.
Preuve :
Supposons que est une racine du polynôme de module supérieur à 1 (Dans le cas contraire, la majoration est triviale). Réécrivons de la sorte :
en écrivant :
Comme et pour tout entier on a , on obtient :
l'expression entre crochet est une suite géométrique finie, on peut écrire:
Comme :
Alors:
Donc , ce qui achève la démonstration.
Voir aussi Article connexe Pour un panorama sur ce type de résultats, voir l'article Théorie des équations (mathématiques). Bibliographie
Lien externe https://captainblack.wordpress.com/2009/03/08/cauchys-upper-bound-for-the-roots-of-a-polynomial
Catégorie:Équation polynomiale Lagrange